导数定义

假设有一个平面直角坐标系，其中点$P(x_0,y_0)$是一条函数$y=f(x)$的图像上的一点。如果x从$x_0$沿着正方向移动一个很小的量$\Delta x$，对应的y值分别为$f(x_0)$和$f(x_0+\Delta x)$。那么，通过点$P(x_0,y_0)$和该点的邻近点$Q(x_0+\Delta x,f(x_0 + \Delta x))$可以画出一条直线，记为$PQ$。当$\Delta x$趋近于0时，$PQ$越来越接近于函数上的一条直线，这条直线称为函数$y=f(x)$在点$P(x_0,y_0)$处的切线。函数在这一点的导数为这条切线的斜率，表示为：

$$
f’(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
$$
也可以写成
$$
f’(x_0)=\lim_{\ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{\ x - x_0}
$$

如果这个极限存在，那么函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，否则在$x_0$处不可导。如果函数在其定义域内每一点都可导，那么这个函数就是可导的函数。

微分定义

微分是导数概念的扩展，它描述的是函数在某点处的局部变化情况，也是微积分中的基本概念之一。

对于函数$y=f(x)$，在$x_0$处微分$dy$表示$y$在$x_0$处的变化量，即：

$$
dy=f’(x_0)\Delta x
$$

其中$f’(x_0)$是函数$f(x)$在$x_0$处的导数，$\Delta x$是自变量$x$的增量。将微分$dy$与自变量$x$的增量$\Delta x$的关系写成极限形式：

$$
dy=\lim_{\Delta x\to 0}f’(x_0)\Delta x
$$

可以看出，微分就是函数在$x_0$处的变化量$d y$随着自变量$x$增量$\Delta x\to 0$的极限。微分也可以表示为$dy=f’(x)dx$，其中$dx$表示自变量$x$的增量。

微分和导数之间的关系非常密切，可以用微分来计算导数，也可以用导数来计算微分。对于函数$y=f(x)$，其微分$dy$和第一种导数定义的关系可以表示为：

$$
dy=f’(x_0)\Delta x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\Delta x=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
$$

这意味着微分$dy$在某种程度上等价于函数在$x_0$处的增量$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。