1055. 股票买卖 II

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数组，数组中的第 $i$ 个数字表示一个给定股票在第 $i$ 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

输入格式

第一行包含整数 $N$，表示数组长度。

第二行包含 $N$ 个不大于 $10000$ 的正整数，表示完整的数组。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

数据范围

$1 \le N \le 10^5$

输入样例1：

6
7 1 5 3 6 4

输出样例1：

7

输入样例2：

5
1 2 3 4 5

输出样例2：

4

输入样例3：

5
7 6 4 3 1

输出样例3：

0

样例解释

样例1：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。共得利润 4+3 = 7。

样例2：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

样例3：在这种情况下, 不进行任何交易, 所以最大利润为 0。

贪心算法

• 操作分解：所有时间跨度$>1$的交易都可以分解成若干个时间跨度为 $1$ 的交易
• 一共有 $n-1$ 个时间跨度为 $1$ 的交易，且相互独立，因此我们只需要将每一个时间跨度为 $1$ 的交易取得最大值即可。而每一个时间跨度为 $1$ 的交易只有 $2$ 种选择——交易/不交易，只有价值 $>0$ 才是有钱可赚的交易

视频讲解：AcWing 1055. 股票买卖 II（每日一题·春季） - AcWing

时间复杂度

$O(n)$

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int n;
int a[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    int res = 0;

    for(int i = 0; i < n; i ++)
        scanf("%d", &a[i]);

    for(int i = 1; i < n; i ++)
        res += max(0, a[i] - a[i - 1]);

    printf("%d", res);
    return 0;
}

状态机DP

具体的状态机模型分析如下图：

一共只$2$有种状态:

1. 当前处于未持股状态0：

   对应可以进行的转换：
   0->0 （不买入，继续观望，那么就什么都不发生）
   0->1 （买入股票，那么收益就要减去当前市场的股票价格）

2. 当前处于持股状态1：

   对应可以进行的转换：
   1->1 （不卖出，继续观望，那么就什么都不发生）
   1->0 （卖出股票，那么收益就要加上当前市场的股票价格）

时间复杂度

$O(n)$

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int w[N];
int f[N][2];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &w[i]);

    // 初始化 f[0][0] 和 f[0][1]
    f[0][1] = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1] + w[i]);
        f[i][1] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0] - w[i]);
    }
    printf("%d\n", f[n][0]);
    return 0;
}