单调队列优化DP
题目
烽火台是重要的军事防御设施,一般建在交通要道或险要处。
一旦有军情发生,则白天用浓烟,晚上有火光传递军情。
在某两个城市之间有 n 座烽火台,每个烽火台发出信号都有一定的代价。
为了使情报准确传递,在连续 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。
现在输入 n,m 和每个烽火台的代价,请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。
输入格式
第一行是两个整数 n,m,具体含义见题目描述;
第二行 n 个整数表示每个烽火台的代价 ai。
输出格式
输出仅一个整数,表示最小代价。
数据范围
1≤n,m≤2×105,
0≤ai≤1000
输入样例:
5 3
1 2 5 6 2
输出样例:
4
思路
分析图示:
状态表示: f[i]
表示前1—i
座烽火台满足条件,且第i
座烽火台点燃的方案集合。
属性: 所有符合条件的方案集合中的最小代价值。
状态计算:
如何划分集合?
题目要求在连续 m
个烽火台中至少要有一个发出信号,即连续的m
个烽火台中至少要有一个被点燃。而f[i]
表示的含义中,第i
座已经被点燃,因此在第i
座向前的前m
座烽火台至少要有一个被点燃。被点燃的可以是第 i-m
, 第 i-m+1
,,,,第i-3
,第i-2
,第i -1
座。
故状态计算方程: f [ i] = min( f[j] ) + w[i]
(i-m<=j<=i-1)
一段区间的最值可以用单调队列求解。此题中,我们定义一个单调递增队列,队列中维护的是f[j
]集合。每次拿出队头元素,即长为m
的区间中,值最小的f[j]
来更新答案。
其实有个小疑问,为什么状态表示时,要将第i
座表示为点燃?
我们可以从问题出发,每n
座烽火台中必然要有一座要被点燃。那么最后n
座烽火台同样也是如此。如果我们将f[i]
定义为前1~i
座烽火台满足条件,且第i
座烽火台点燃的方案集合。那么答案一定在 f[n-m+1],f[n-m+2],,,,,,f[n]
之间。也就是说将第i
座表示为点燃可以很容易表示出答案。这就给我们一个启发,我们在定义状态表示时,一定要考虑我们定义的状态是否可以包含答案 。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int w[N];
int f[N];
int q[N];
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
f[0] = 0; //0座的代价为0
int tt = 0, hh = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (q[hh] < i - m) hh++; //超出滑动窗口,踢出队列
f[i] = f[q[hh]] + w[i]; //更新答案
while (hh <= tt && f[q[tt]] >= f[i]) tt--;//维护单调递增队列 在一段区间内
//找出最小的f[j](i-m<=j<=i-1)
q[++tt] = i;
}
int res = 1e9;
for (int i = n - m + 1; i <= n; i++) res = min(res, f[i]); //答案在最后一段区间选
printf("%d\n", res);
return 0;
}
为什么答案一定在 f[n-m+1],f[n-m+2],,,,,,f[n]之间,而不是在f[n-m],f[n-m+1],,,,,,f[n]之间
同问
这个你得明白f[ i ]表示的含义,表示前i-1座已经摆放好,前第i座点燃的合法方案,那么答案肯定是在最后的长度为m的区间里面来选择合法方案,因为如果超出最后的长度为m的区间,你可以想一下f[i]表示的就不是合法方案了。
$tql$
$orz %%%$
这里f[q[hh]]有什么意义吗我怎么感觉他就是0呢?没看到什么东西可以变化他的值啊
0座的代价为什么是0,为什么会出现0座的情况,为什么初始话 队列不为空
这就给我们一个启发,我们在定义状态表示时,一定要考虑我们定义的状态是否可以包含答案 。
这句话很赞
%%%