这里是一道 神奇帅气 的题目。

一个容器装有 $1\text{L}$ 水，按照如下要求把水倒出：第 $1$ 次倒出 $\dfrac{1}{2}\text{L}$ 水，第 $2$ 次倒出的水量是 $\dfrac{1}{2}\text{L}$ 的 $\dfrac{1}{3}$，第 $3$ 次倒出的水量是 $\dfrac{1}{3}\text{L}$ 的 $\dfrac{1}{4}$，第 $4$ 次倒出的水量是 $\dfrac{1}{4}\text{L}$ 的 $\dfrac{1}{5}$...... 第 $n$ 次倒出的水量是 $\dfrac{1}{n}\text{L}$ 的 $\dfrac{1}{n+1}$......按照这种倒水的方法，这 $1\text{L}$ 水经多少次可以倒完？

很显然用实验的方法是很难精确测量出水量的，所以我们可以将上面的问题抽象成数学模型加以解决。

容易列出倒 $n$ 次水倒出的总水量为：
$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\ldots +\dfrac{}{\left( n-1\right) n}\ +\dfrac{1}{n \left( n+1\right) }\end{aligned}.①$$

根据分式的减法法则，
$$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{n \left( n+1\right) }-\dfrac{n}{n \left( n+1\right) }=\dfrac{1}{n \left( n+1\right) }.$$

反过来，有
$$\dfrac{1}{n \left( n+1\right) }=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.②$$

利用 $②$ 可以把 $①$ 改写为
$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}+\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) +\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right) +\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right) \ +\ldots +\left( \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right) +\left( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right) \end{aligned}.③$$

合并 $③$ 中的相反数，得 $1-\dfrac{1}{n+1}$，即倒 $n$ 次水倒出的总水量为
$$1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\text{(L).}$$

可以发现，从数学上看，随着倒水次数 $n$ 的不断增加，倒出的总水量 $\dfrac{n}{n+1}$ 也不断增加。然而，不论倒水次数 $n$ 有多大，导出的总水量 $\dfrac{n}{n+1}$ 总小于 $1$。

因此，按这种方法，容器中的 $1\text{L}$ 水是倒不完的。

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int x;
    cin >> x;
    if (x % 5 == 0) cout << x / 5;
    else cout << x / 5 + 1;
}

更好的阅读体验。

毕达哥拉斯学派给出的证明。$\color{white}{数学书就有，自己康康叭qwq}$

假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，那么存在两个互质的正整数 $p, q$ ，使得

$$\sqrt{2}=\frac{p}{q},$$

于是

$$p=\sqrt{2} q.$$

两边平方得

$$p^{2}=2 q^{2} .$$

由 $2 q^{2}$ 是偶数，可得 $p^{2}$ 是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以 $p$ 也 是偶数。

因此可设 $p=2 s$ ，代入上式，得 $4 s^{2}=2 q^{2}$ ，即

$$q^{2}=2 s^{2}$$

所以 $q$ 也是偶数，这样， $ p$ 和 $q$ 都是偶数，不互质，这与假设 $p, q$ 互质矛盾。

这个矛盾说明， $\sqrt{2}$ 不能写成分数的形式，即 $\sqrt{2}$ 不是有理数。实际上， $\sqrt{2}$ 是无限不循环小数。

拓：同样地，如何证明 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数呢?

假设 $\sqrt[3]{2}$ ，那么存在两个互质的正整数 $p, q$ ，使得

$$\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$$

而

$$\frac{p^{3}}{q^{3}}=2$$

这就与 $p$ 和 $q$ 互质相矛盾，所以假设不成立。

这个矛盾说明， $\sqrt[3]{2}$ 不能写成分数的形式，即 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数。

人教版七下数学书第六章实数 $\text{P58}$.

书中只提到为什么 $\sqrt{2}$ 不是有理数，这个分享中拓展了为什么 $\sqrt[3]{2}$ 不是有理数（课本中留下了这么一个悬念）

$\text{P.S}$ 无理数并非无理，只是不能写成分数的形式而已。

参考文献搞出来了，不要喷我啊啊啊！

草，怎么被踩了/kk

宝宝不开心呐qwq（bushi

如果你发现我没有代码就是两种情况。
①用的手机，暂时没敲（概率较小）
②还没做，要么不会做，要么没调完。

//这里填你的代码^^
//注意代码要放在两组三个点之间，才可以正确显示代码高亮哦~

死了
emm决定开卷了： )

# include <iostream>
# include <map>
# include <cstdio>
# include <cstring>
using namespace std;
# define N 50010
int fa[N * 3],n,k,ans;
int find(int x){
    if (fa[x] != x) return fa[x] = find(fa[x]);
    return x;
}
int main(){
    cin >> n >> k;int a,b,c;
    for (int i = 1;i <= n * 3;i ++) fa[i] = i;
    for (int i = 1;i <= k;i ++){
        cin >> a >> b >> c;
        if (b > n || c > n || (a == 2 && b == c)){
            ans ++;
            continue;
        }
        if (a == 2){
            if (find(b) == find(c) || find(b + n * 2) == find(c) || find(c + n) == find(b)) ans ++;
            else{
                fa[find(b + n)] = find(c);
                fa[find(b)] = find(c + 2 * n);
                fa[find(c + n)] = find(b + 2 * n);
            }
        }
        if (a == 1){
            if ((find(b + n) == find(c)) || (find(b + 2 * n) == find(c))) ans ++;
            else{
                fa[find(b + 2 * n)] = find(c + 2 * n);
                fa[find(b + n)] = find(c + n);
                fa[find(b)] = find(c);
            }
        }
    }
    cout << ans;
}

@冰中月 你居然作为九班班花会夹子音！（两眼放光）妥妥的娘…(bushi)

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int f[20010]; 
int find(int bzynp) 
{
  if(f[bzynp] != bzynp)
    f[bzynp] = find(f[bzynp]);
  return f[bzynp];
}
int main()
{
  int N, M;
  int a, b;
  scanf("%d%d",&N, &M);
  for(int i = 1;i <= N;i++)
    f[i]=i;
  for(int i = 0;i < M;i++)
  {
    scanf("%d%d",&a,&b);
    a = find(a);
    b = find(b);
    f[a] = b;
  }
  scanf("%d",&M);
  while(M --)
  {
    scanf("%d%d",&a, &b);
    a = find(a);
    b = find(b);
    if(a == b) printf("Yes\n");
    else printf("No\n");
  }
  return 0;
}

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;
int n, k;
LL s[N], cnt[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%lld", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }

    cnt[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cnt[s[i] % k] ++ ;
    }

    LL ans=0;
    for(int i=0;i<=k-1;i++){
        ans += (cnt[i] * (cnt[i] - 1)) / 2;    
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

#include <iostream>
using namespace std;
int a[200005];
int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) cin >> a[i];
    int l = 1, r = 100000;
    while (l < r)
    {
        int m = (l + r + 1) / 2;
        int s = 0;
        for (int i = 0; i < 2 * n; i += 2)
            s += (a[i] / m) * (a[i + 1] / m);
        if (s >= k) l = m;
        else r = m - 1;

    }
    cout << l << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main() {
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < s1.size() - 1; i++) {
        if (s1[i] != s2[i]) {
            if (s1[i + 1] == '*') s1[i + 1] = 'o';
            else if (s1[i + 1] == 'o') s1[i + 1] = '*';
            res ++;
        }

    }
    cout << res;
    return 0;
}