有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大

完全背包的朴素写法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    //枚举物品
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        //枚举背包的容量
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
            //枚举放的个数
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

    cout << dp[n][m];

    return 0;
}

完全背包的时间复杂度优化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    //枚举物品
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        //枚举背包的容量
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            //一个都不放
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            //枚举放一个 一直到放 k 个 k * v[i] <=j 的最大价值
            if(j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
        }


    cout << dp[n][m];

    return 0;
}

01背包和完全背包的状态转移方程的区别

//01背包的转移方程
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])

//完全背包的转移方程
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v[i]] + w[i])

01背包用到的是第i-1个物品的状态
完全背包用到的是 第 i -1 个物品和 第i 个物品的状态
（待补充）

完全背包的空间复杂度优化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
//dp[j]表示不超过背包容量j的最大价值为dp[j]
int dp[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    //枚举物品
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        //枚举背包的容量
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++)
            //dp[j] = dp[i - 1][j]
            //dp[j - v[i]] + w[i] = dp[i][j - v[i]] + w[i]
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);

    cout << dp[m];

    return 0;
}