第一章模板：
https://www.acwing.com/blog/content/277/
理解了直接背就好

这是一个与本目录对应的第一章题解: https://www.acwing.com/blog/content/11997/
知识点不太懂的时候，看看具体的题会好一些

小结目录

1. 排序
2. 二分
3. 高精度
4. 前缀和与差分
5. 双指针算法
6. 位运算
7. 离散化
8. 区间合并

1. 排序

第一章我们学习了以分治思想为基础的快速排序，与归并排序

1.1 快速排序

快排的思路很简单，先将数组分成两部分，左边 $ <= $某一个数， 右边$ >= $一个数。然后递归处理左右两边，继续划分最终就可以得到一个有序序列

快排的问题在于下标，熟背模板即可

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

1.2 归并排序

归并是先处理左右两半部分数组，最后用双指针算法(维护一种顺序)合并两部分
归并排序利用了辅助数组

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

2. 二分

二分分为整数二分与浮点数二分
整数二分存在边界问题，易出现死循环
牢记， $l = mid$时， $mid$要向上取整，即$mid = l + r + 1 >> 1$
做题时候，也要分析清楚自己要二分得到的是满足什么性质的点，确定好$check()$函数

浮点数因为是连续的，直接$mid = l + r >> 1$就行
浮点数的精度控制一般比题目要求多两位

2.1 整数二分

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

2.2 浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

3. 高精度

高精度问题常见有四类题型
下列给出整数均为整数
1. 大整数 + 大整数
2. 大整数 - 大整数
3. 大整数 * 小整数
4. 大整数 / 小整数，求商与余数

高精度思想是模拟手工运算，$+ - * /$，就需要分别需要额外信息，进位，借位，进位，余数
除加法外，剩余三种运算都存在前导0问题，需要去除
此类问题仍然以记忆为主，理解并背过

3.1 高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

3.2 高精度减法

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

3.3 高精度乘法

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

3.4 高精度除法

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

4.前缀和与差分

前缀和与差分的核心是公式，在使用时候脑子里要能想象出图像(尤其是二维)
前缀和与差分的主要作用是提高效率

比如大规模询问连续区间和，前缀和可以将$O(n)$优化到$O(1)$
大规模更改区间内数字时，差分也可以将$O(n)$优化到$O(1)$

4.1 一维

//前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

//差分
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

4.2 二维

//前缀和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

//差分
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

5. 双指针算法

双指针算法可以将一个$O(n ^ 2)$的复杂度优化到$O(n)$
对于此类问题，一般是想出一个暴力做法，然后从中寻找单调性，采用双指针算法优化

常见问题分类：
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}

6. 位运算

记住两个常用的操作即可
求$n$的第$k$位数字: $n >> k$ & $1$
返回n的最后一位$1:$ $lowbit(n) = n$ & $-n$

7. 离散化

离散化是一种特殊的哈希操作，它是将一个整数映射到另一个整数上的

在一个很大区间上(开不了数组)，有稀疏的点，我们可以将稀疏的点的下标映射到一个新的数组而维持原来的关系

离散化需要考虑的问题
1. 将需要离散化的数字的存储
重复：需要去重，(先排序后，再使用c++自带的unique函数)
2. 如果找到数字$x$离散化后的值：二分查找 (手写，或者用$lower_bound$)

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

8. 区间合并

区间合并有一些贪心的思想

首先我们要按区间左端点排序，每当下一个区间的左端点小于等于当前区间的右端点，那么就是可以合并的。右端点更新。如果大于的话，那么之前的区间是不能再进行合并的了，将之前的区间放入答案里面

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}