背包问题的DP过程

for 物品
    for 体积
        for 决策

三种背包共有代码
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

01背包

每种物品只有一个

for (int i = 1;i <= n;i++)
    for (int j = m;j>=v[i];j--)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

完全背包

每种物品有无限个

for (int i = 1;i <= n;i++)
     for (int j = v[i];j <= m;j++)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

当空间优化成一维的时 只有完全背包的体积是从小到大循环的

多重背包

每种物品有有限个

朴素版本

时间复杂度
O(物品数量X最大体积X最大个数)
v w s 分别表示 体积 价值 数量

int v, w, s;
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
    cin >> v >> w >> s;
    for (int j = m;j >= v;j--)
        for (int k = 0;k <= s && k * v <= j;k++)
            f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
}

二进制优化

时间复杂度
O(物品数量X最大体积Xlog最大个数)
a b s 分别表示 体积 价值 数量
将数量分装打包 转换成01背包

int cnt = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++)
{
    int a, b, s;
    cin >> a >> b >> s;
    int k = 1;
    while (k <= s)
    {
        cnt++;
        v[cnt] = a * k;
        w[cnt] = b * k;
        s -= k;
        k *= 2;
    }
    if (s > 0)
    {
        cnt++;
        v[cnt] = a * s;
        w[cnt] = b * s;
    }
}

n = cnt;

多重背包变成01背包
体积是从大到小遍历的

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

分组背包

可仿照01背包优化到一维
需要逆向枚举体积
其中的”j>=v”意味着”j大于第i组中体积最小的物品体积值”
故可写成”j>=0”
s[i]表示第i组有多少个物品

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=0;j--)
        for(int k=0;k<=s[i];k++)   
            if(j>=v[i][k])f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);  

多重背包是分组背包的特殊情况

混合背包

for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        if (s == 0)//完全背包 正序遍历体积
            for (int j = v;j <= m;j++)f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        else//01背包也可以看成多重背包
        {
            if (s == -1)s = 1;//表示01背包 最多选1个
            //多重背包二进制优化成01背包
            for (int k = 1;k <= s;k *= 2)//k是基数也是权重
            {
                for (int j = m;j >= k * v;j--)
                    f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
                s -= k;//从总数量中挖取2^k个(进行打包)
            }
            if (s)//对剩余的直接打包成一组 s是权重
                for (int j = m;j >= s * v;j--)
                    f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
        }
    }