完全背包问题

（1）、经典完全背包，每件物品可以无限取
版本一：这是朴素版本的，时间复杂度O(nm2)O(nm2)，TLE了

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    cout << dp[n][m] << endl;
}

****版本2：这个就是把上面版本的第三重循环优化掉，优化的原理就是：**
dp[i][j - v] = max(dp[i - 1][j - v], dp[i - 1][j - 2 * v] + w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 2 * w, .....)；
而我们需要的dp[i][j]的状态表示是：
dp[i][j]= max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v] + w, dp[i - 1][j - 2 * v] + 2 * w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 3 * w);
将每一项一一比对，我们可以得到下列状态表示:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v] +w)；**

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0; j <= m; j ++ ){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= v)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v] + w);
        }
    }
    cout << dp[n][m] << endl;
}

**版本5：这是课上讲的优化版本，对代码进行等价变形。对照01背包的代码，就是将第二个循环从小到大进行枚举即可。**

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v; j <= m; j ++ ){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
}

(2)买书
小明手里有n元钱全部用来买书，书的价格为10元，20元，50元，100元。

问小明有多少种买书方案？（每种书可购买多本）

输入格式
一个整数 n，代表总共钱数。

输出格式
一个整数，代表选择方案种数。

数据范围
0≤n≤1000
输入样例1：
20
输出样例1：
2
输入样例2：
15
输出样例2：
0
输入样例3：
0
输出样例3：
1

代码：

Code（朴素版）
最坏时间复杂度：O(n2×m)O(n2×m)
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 5, M = 1010;

int n = 4, m;
int v[N] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[N][M];

int main()
{
    //input
    cin >> m;

    //dp
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j <= m; ++ j)
        {
            for (int k = 0; v[i] * k <= j; ++ k)
            {
                f[i][j] += f[i - 1][j - v[i] * k];
            }
        }
    }

    //output
    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}
完全背包—经典优化
观察 f(i,j)f(i,j) 的 状态转移方程 进行变形

f(i,j)f(i,j−vi)==f(i−1,j)+f(i−1,j−vi)f(i−1,j−vi)++⋯⋯++f(i−1,j−svi)f(i−1,j−svi)
f(i,j)=f(i−1,j)+f(i−1,j−vi)+⋯+f(i−1,j−svi)f(i,j−vi)=f(i−1,j−vi)+⋯+f(i−1,j−svi)
由上述两个等式可以获得如下递推式：

f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−vi)
f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−vi)
把这个等式作为 状态转移方程 ，就可以把时间复杂度优化到 O(n×m)O(n×m)
同时，观察到该 转移方程 对于第 i 阶段的状态，只会使用第 i-1 层和第 i 层的状态

因此我们也可以采用 01背包 的 空间优化方案

时间复杂度：O(n×m)O(n×m)
空间复杂度：O(m)O(m)
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 5, M = 1010;

int n = 4, m;
int v[N] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[M];

int main()
{
    //input
    cin >> m;

    //dp
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for (int j = v[i]; j <= m; ++ j)
        {
            f[j] += f[j - v[i]];
        }
    }

    //output
    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

总结，类似于01背包数字组合那道题，只不过是完全背包模型.

(3)货币系统
给你一个n种面值的货币系统，求组成面值为m的货币有多少种方案。

输入格式
第一行，包含两个整数n和m。

接下来n行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示方案数。

数据范围
n≤15,m≤3000
输入样例：
3 10
1
2
5
输出样例：
10

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>


using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 3010;

LL f[N];
int n,m;
int main()
{

    cin>>n>>m;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int v;
        scanf("%d",&v);
        for(int j=v;j<=m;j++)
        {
            f[j]+=f[j-v];
        }
    }
    printf("%lld",f[m]);

    return 0;
}

总结：与上一题，不过会爆int，方案数太多了，long long 即可

(4) 货币系统
在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1..n] 的货币系统记作 (n,a)。 

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。 

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。 

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 

每组数据的第一行包含一个正整数 n。

接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式
输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

数据范围
1≤n≤100,
1≤a[i]≤25000,
1≤T≤20
输入样例：
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
输出样例：
2
5
难度：中等
时/空限制：1s / 128MB
总通过数：4763
总尝试数：7840
来源：NOIP2018提高组
算法标签

代码：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 25010;

int n;
int a[N];
bool f[N];

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- )
    {
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];
        sort(a, a + n);

        int m = a[n - 1];
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0] = true;

        int k = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            if (!f[a[i]]) k ++ ;
            for (int j = a[i]; j <= m; j ++ )
                f[j] |= f[j - a[i]];
        }

        cout << k << endl;
    }

    return 0;
}

**总结：算法分析
若两个货币系统等价，有如下性质

性质1：a1,a2,…,an一定都可以被表示出来

性质2：在最优解中,b1,b2,…bm一定都是从a1,a2,…,an中选择的

性质3：b1,b2,…,bm一定不能被其他bi表示出来

步骤
由于数据中不存在负数，将a[]数组从小到大排序

(1)若ai能被a0~a(i-1)表示出来，则一定不选

(2)若ai不能被能被a0~a(i-1)表示出来，则一定选**