（1）背包问题求方案数
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 109+7 的结果。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示 方案数 模 109+7 的结果。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
2

代码：
01背包模型 f[i][j]f[i][j]
状态表示f(i,j)f(i,j)—集合： 考虑前 i 个物品，且当前已使用体积不超过 j 的方案

状态表示f(i,j)f(i,j)—属性： 该方案的价值为最大值 maxmax
状态转移f(i,j)f(i,j)： f(i,j)={不选第i个物品：选第i个物品：max{f(i−1,j)}max{f(i−1,j−vi)+wi}f(i,j)={不选第i个物品：max{f(i−1,j)}选第i个物品：max{f(i−1,j−vi)+wi}
路径跟踪 g[i][j]g[i][j]
状态表示g(i,j)g(i,j)—集合： 考虑前 i 个物品，当前已使用体积恰好是 j 的，且 价值 为最大的方案

状态表示g(i,j)g(i,j)—属性： 方案的数量 SumSum
状态转移g(i,j)g(i,j)：

如果fi,j=fi−1,jfi,j=fi−1,j 且 fi,j=fi−1,j−v+wfi,j=fi−1,j−v+w 则 gi,j=gi−1,j+gi−1,j−vgi,j=gi−1,j+gi−1,j−v
如果fi,j=fi−1,jfi,j=fi−1,j 且 fi,j≠fi−1,j−v+wfi,j≠fi−1,j−v+w 则 gi,j=gi−1,jgi,j=gi−1,j
如果fi,j≠fi−1,jfi,j≠fi−1,j 且 fi,j=fi−1,j−v+wfi,j=fi−1,j−v+w 则 gi,j=gi−1,j−vgi,j=gi−1,j−v
初始状态：g[0][0] = 1

Code(朴素写法)
时间复杂度： O(N×V)O(N×V)
空间复杂度： O(N×V)O(N×V)

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N], g[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j <= m; ++ j)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    g[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j <= m; ++ j)
        {
            if (f[i][j] == f[i - 1][j])
                g[i][j] = (g[i][j] + g[i - 1][j]) % mod;
            if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i - 1][j - v[i]] + w[i])
                g[i][j] = (g[i][j] + g[i - 1][j - v[i]]) % mod;
        }
    }
    int res = 0;
    for (int j = 0; j <= m; ++ j)
    {
        if (f[n][j] == f[n][m])
        {
            res = (res + g[n][j]) % mod;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}
Code(朴素优化)
可以把 g 和 f 写进一个循环里，再判断 f 的 转移路径 的同时用 g 跟踪 转移路径

然后再用 01背包 的 朴素优化，把第一维消掉即可

时间复杂度： O(N×V)O(N×V)
空间复杂度： O(V)O(V)
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N], g[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> v[i] >> w[i];

    g[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; -- j)
        {
            int temp = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]), c = 0;
            if (temp == f[j]) c = (c + g[j]) % mod;
            if (temp == f[j - v[i]] + w[i]) c = (c + g[j - v[i]]) % mod;
            f[j] = temp, g[j] = c;
        }
    }
    int res = 0;
    for (int j = 0; j <= m; ++ j)
    {
        if (f[j] == f[m])
        {
            res = (res + g[j]) % mod;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

(2)背包问题求具体方案
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
1 4
代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = n; i >= 1; i -- )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    int j = m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i])
        {
            cout << i << ' ';
            j -= v[i];
        }

    return 0;
}