概率($\rm{III}$)

引入問題：給定一個 $6$ 面的色子，小茗隨機地拋了一次，請問 $1$ 那一個面落地的概率是多少。

我們定義 $P\big[x=1\big]$ 為上面的問題的答案，很明顯，答案就是全集 $1$ 除以 $6$ 個面，就是 $\cfrac{1}{6}$。

$P[\text{x是偶数}]$ 发生的概率，就是 $P[x = 2] + P[x = 4] + P[x = 6]$ 的值，也就是全集 $1$ 除以 $6$ 个面，然后乘以 $3$ 种可能性，答案就是 $\cfrac{1}{6}\times 3 = \cfrac{1}{2}$。

$P[x]$ 中的 $x$ 的取值范围就是色子可以抛到地上的范围，也就是 $1\sim 6$。

性质1： 因为 $P[x]$ 代表的是概率，所以 $0\le P[x]\le 1$。

性质2： 色子的六个面的概率之和，就是 $P[1] + P[2] + P[3] + P[4] + P[5] + P[6]$，这一个式子一定等于 $1$。证明 ：$\cfrac{1}{6}\times 6 = 1$。

性质3： 现在告诉你 $\forall\ i, j(1\le i, j\le 5,\ i\neq j), A_i\cap A_j = \O$，求 $\sum_{i=1}^{5} P[x=i]$ 的值。答案等于 $$ \begin{matrix}\cfrac{1}{6}\times 5 = \cfrac{5}{6}\end{matrix} $$。

将上面的三个性质结合起来，得到了一下的结论：
$$ 0\le P[A]\le 1\\ \Sigma\ P[A] = 1\\ \forall\ i, j(1\le i, j\le n,\ i\neq j), A_i\cap A_j = \O, P[A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n] = P[A_1] + P[A_2] + \cdots + P[A_n] $$
还有另外的一些特殊性质：

• $P[\O] = 0$。
• $A\ \scriptsize Ｃ\normalsize\ B, P[B - A] = P[B] - P[A]$。
• $P[B - A] = P[B] - P[A\cap B]$。
• $P[A\cup B] = P[A] + P[B] - P[A\cap B]$。