概率(III)
引入問題:給定一個 6 面的色子,小茗隨機地拋了一次,請問 1 那一個面落地的概率是多少。
我們定義 P[x=1] 為上面的問題的答案,很明顯,答案就是全集 1 除以 6 個面,就是 16。
P[x是偶数] 发生的概率,就是 P[x=2]+P[x=4]+P[x=6] 的值,也就是全集 1 除以 6 个面,然后乘以 3 种可能性,答案就是 16×3=12。
P[x] 中的 x 的取值范围就是色子可以抛到地上的范围,也就是 1∼6。
性质1: 因为 P[x] 代表的是概率,所以 0≤P[x]≤1。
性质2: 色子的六个面的概率之和,就是 P[1]+P[2]+P[3]+P[4]+P[5]+P[6],这一个式子一定等于 1。证明 :16×6=1。
性质3: 现在告诉你 ∀ i,j(1≤i,j≤5, i≠j),Ai∩Aj=\O,求 ∑5i=1P[x=i] 的值。答案等于 16×5=56。
将上面的三个性质结合起来,得到了一下的结论:
0≤P[A]≤1Σ P[A]=1∀ i,j(1≤i,j≤n, i≠j),Ai∩Aj=\O,P[A1∪A2∪⋯∪An]=P[A1]+P[A2]+⋯+P[An]
还有另外的一些特殊性质:
- P[\O]=0。
- A C B,P[B−A]=P[B]−P[A]。
- P[B−A]=P[B]−P[A∩B]。
- P[A∪B]=P[A]+P[B]−P[A∩B]。