01背包
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
O(nm)

int n, m;//m为容量
int dp[N];//dp[x]存储背包容量为x时的最大价值

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int v, w;//v为体积,w为价值
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j--)//倒序循环防止重复计算
        {
            dp[j] = max(dp[j - v] + w, dp[j]);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

完全背包
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
O(nm)

int n, m;
int v, w, dp[N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> v >> w;
        for (int j = v; j <= m; j++)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

多重背包(朴素)
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
O(snm)

int n, m;
int v, w, s, dp[N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> v >> w >> s;
        while (s--)//直接拆成s个单一物品
        {
            for (int j = m; j >= v; j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
            }
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

多重背包(二进制优化)
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
O(log(s)nm)

int n, m;
int s, cnt, dp[N], v[logs * N], w[logs * N];//每个物品可拆成logs(+1)堆

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        for (int k = 1; k <= s; k *= 2)//二进制拆分
        {
            s -= k;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt++] = b * k;
        }
        if (s)
        {
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt++] = b * s;
        }
    }
    for (int i = 0; i < cnt; i++)
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

多重背包(单调队列优化)
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
O(NV)

int n, m;
int dp[N], g[N], q[N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    while (n--)
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for (int j = 0; j < v; j++)
        {
            memcpy(g, dp, sizeof dp);//缓存上一轮的结果
            int hh = 0, tt = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v)
            {
                dp[k] = g[k];
                if (hh <= tt && k - s * v > q[hh])
                {
                    hh++;
                }
                if (hh <= tt)
                {
                    dp[k] = max(dp[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w);
                }
                while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - j) / v * w <= g[k] - (k - j) / v * w)
                {
                    tt--;
                }
                q[++tt] = k;
            }
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

分组背包
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
O(snm)

int n, m;
int s[N], v[N][N], w[N][N], dp[N];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 0; j < s[i]; j++)
        {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = m; j >= 0; j--)
        {
            for (int k = 0; k < s[i]; k++)//把同一组的每个物品都试一遍
            {
                if (v[i][k] <= j)
                {
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}