基础算法

方法：上课理解思想——>背模板——>做模板题（多敲几遍以增加熟练度）

快速排序

分治
1. 确定分界点
2. 调整区间（左<=x ，右>=x）
3. 递归处理左右两段

归并排序

1. 确定分界点 mid=(l+r)/2
2. 递归排序 left right
3. 归并——合二为一

整数二分

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

高精度算法

高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

高精度减法

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

高精度乘低精度

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

高精度除低精度

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

前缀和差分

一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + … a[i]
a[l] + … + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

一维差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

双指针算法

先暴力，再找性质（i j 单调关系）优化，复杂度n^2变n

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}
常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

位运算

1. n的2进制表示中第k位是几
2. n>>k （所求移到最后一位）
3. 看个位数 n&1
4. lowbit(x)：返回x的最后一位1（带上后缀0
5. x&-x
6. 原理：x&(~x+1)负数补码
7. 应用：统计1的个数，树状数组

离散化

特殊哈希
数据大且离散——>映射
==Points==
- 去重 sort+unique
- 二分求离散化的值
整数，保序
1. 法1：二分实现

vector<int>alls;
sort(alls.begin(),alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(),alls,end()),end());//把多余的去掉

//二分找x对应的离散化的值
int find(int x){
    int l=0,r=alls.size()-1;

    while(l<r){
        int mid=l+r>>1;
        if(alls[mid]>=x)//小
            r=mid;//往小的那里跑
        else//大
            l=mid+1;
    }
    return r+1;//映射到1,2，  ,n
}

1. lower_bound实现

for(int i=1;i<=n;i++)
    b[i]=a[i];
sort(b+1,b+1+n);
int tot=unique(b+1,b+1+n)-(b+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=lower_bound(b+1,b+1+n,a[i])-b;

区间合并

把有交集的区间合并在一起
1. 按区间左端点排序
2. 扫描 列关系
- 包含 不变
- 后相交 扩ed
- 不相交 ans++，更新st

void merge(vector<PII>&segs){
    vector<PII>res;
    sort(segs.begin(),segs,end());

    int st=-0x7fffffff,ed=-0x7fffffff;
    for(auto seg:segs){
        if(ed<seg.first){
            if(st!=-0x7fffffff)
                res.push_back({st,ed});
                st=seg.first,ed=seg.second;
        }
        else
            ed=max(ed,seg.second);//扩ed
    }
    if(st!=-0x7fffffff)
        res.push_back({st,ed});//不相交
    segs=res;
}