最小生成树 & 二分图

最小生成树

• 一般是无向图
• 两个算法
  • Prim算法
    • 朴素版Prim算法
    • 堆优化版Prim算法
  • Kruskal算法

朴素版prim算法 —— 模板题 AcWing 858. Prim算法求最小生成树

• 适合稠密图
• 不考虑边权的正负
• 思路

dist[i] <- INF              //存储每个点到子图集合的距离
for(i = 0;i < n;i ++)
    t <- 找到集合外距离最近的点
    用t更新其他点到集合的距离           //这里可能会有自环，所以累加生成树长度要在这步之前
    st[t] = true

• 中间要判断一下图是否连通，只有连通图才有最小生成树

时间复杂度是 $O(n^2+m)$, $n$ 表示点数，$m$ 表示边数

模板

int n;      // n表示点数
int g[N][N];        // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中


// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))       //和dijkstra一样，在这里用堆优化
            //但堆优化一般不会用到，稀疏图用Kruskal更好
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}

• 代码

Kruskal算法 —— 模板题 AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

• 思路
  • 将所有边按权重从小到大排序 $O(mlogm)$
  • 枚举每条边ab,权重是c;如果a,b不连通，就将这条边加入到集合里

时间复杂度是 $O(mlogm)$, $n$ 表示点数，$m$ 表示边数

模板

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

• 代码

二分图

• 染色法
• 匈牙利算法（或Kuhn–Munkres算法或Munkres分配算法）

染色法判别二分图 —— 模板题 AcWing 860. 染色法判定二分图

• 二分图：图中点可以分为两个集合，任意两个相同集合的点一定不相邻
• 一个图是二分图当且仅当图中不含奇数环
  • 证明
    • 充分性：
      • 构造两个点集 $V_1$ 和 $V_2$；任选一个点 $e$，到该点路径边数为奇数的进 $V_1$,偶数进 $V_2$;
      • 假设 $V_1$ 中有两个点 $i,j$ 相邻，则 $e$ 到 $i,j$ 的路径长都是奇数，$e$ 与 $i,j$ 之间存在一条奇数环，矛盾
    • 必要性：对于一个奇数环，从任意一点开始，按固定方向交替二分染色并将颜色一样的点并入一个集合，最后一定有相邻两点颜色相同，说明在该颜色代表的集合中两点相邻，与二分图定义相矛盾；因此，含有奇环的图一定不是二分图
  • 充分性的证明就是染色法的原理
• 思路

for(i = 1;i <= n;i ++)
    if i未被染色
        dfs(i,1);

时间复杂度是 $O(n+m)$, $n$ 表示点数，$m$ 表示边数

模板

int n;      // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储图,注意是有向图还是无向图。无向图边数要开两倍
int color[N];       // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色

// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (color[j] == -1)
        {
            if (!dfs(j, !c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

bool check()
{
    memset(color, -1, sizeof color);
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (color[i] == -1)
            if (!dfs(i, 0))
            {
                flag = false;
                break;
            }
    return flag;
}

• 代码

匈牙利算法 —— 模板题 AcWing 861. 二分图的最大匹配

算法教学 $\times$
恋爱指南 $\checkmark$

思路：左边男生，右边妹子，中间的线表示双方有好感。从第一个男生开始，每次男生都会顺着好感与一个女生建立关系。如果女生有男友，则递归地看她的男友能不能换个妹子，如果可以就换，使男生匹配成功，否则就让男生另找女生。

时间复杂度最坏是 $O(nm)$,$n$ 表示点数，$m$ 表示边数，一般运行时间远小于这个复杂度估计的时间

模板

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);
    if (find(i)) res ++ ;
}

• 代码

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/
来源：AcWing
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