笔记汇总

圆排列的定义

给定一个集合，我们从中调出 $m$ 个元素组成一个指定圆排列。

对于一个指定圆排列，从此排列上的 任意一个数出发，同向 绕回 原点 的排列都被算作是 同一排列。

由于每个指定圆排列中被划为无效排列的有 $m-1$ 个，则每选出一个圆排列都会少掉 $m$ 个直线排列。

则圆排列公式为 :

$x = C_n^m * (m - 1)! = \frac{P_n^m}{m}$

如果不计正序逆序则为：

$x = \frac{C_n^m * (m - 1)!}{2} = \frac{P_n^m}{2m}$

扩展 2 个圆排列

给定一个集合，我们从中调出 $m$，$n - m$ 个元素组成两个圆排列。（只有顺序不同时不计入）

则两排列分别有 $m!$ 和 $(n - m)!$，由乘法原理可知有 $m! * (n-m)!$，

因为这只是一个指定排列产生的方案数，我们一共有 $C_n^m$ 种元素数量固定时的选择方案，其中有一半是重复的。

以及 $\frac{n}{2}$ 种不同数量的元素搭配，则所有方案为

$sum = \frac{1}{2} * ∑_{m = 1}^n * C_n^m * m!(n-m)!$