题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个N * N 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 [-127,127][−127,127] ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 15。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入输出样例

输入：

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

输出：

15

引子：

在最大子段和中：

DP方程:p[i]=max(dp[i-1]+tmp,tmp),tmp表示这个数列的第i项。
核心：

    for(i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&tmp);
        dp[i]=maxn(dp[i-1]+tmp,tmp);
        ans=maxn(ans,dp[i]);//动态规划
    }

那么我们如何来处理这一题呢？

我们可以考虑将矩形压缩成一维，比如处理一个2行的矩形时，将a [ i ][ j ]与a [ i - 1 ][ j ]相加，成为一个新的数组f [ n ]，再使用上述代码进行动态规划，找出局部最优解。

那如何来快速将矩形折叠呢？

我们可以选择前缀和

简单来说，就是在输入的时候，再次加上a[ i - 1 ][ j ]，这样可以用减法来快速表示压缩的矩形。

具体代码如下：

    scanf("%d",&n);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;++i){
        for(j=1;j<=n;++j){
            scanf("%d",&a[i][j]);
            a[i][j]+=a[i-1][j];//根据前缀和定义处理
        }
    }

用样例来表示，输入的是：

     0  -2  -7   0
     9   2  -6   2
    -4   1  -4   1 
    -1   8   0  -2

在经过前缀和处理之后，输出的是这个：

    0   -2  -7   0
    9    0  -13 2
    5    1  -17 3
    4    9  -17 1

可以模拟一下,a[ i ][ j ] - a[ i - k ][ j ]正好是以i为最下面一行，往上k行的压缩结果，这就很方便地表示了压缩后的矩形。

那又怎么循环找出各行为最下一行，不同行数的矩阵最大值呢？

用i表示以i为最下一行，k表示向上k行，代码如下:

    for(i=1;i<=n;++i){
        for(k=1;k<=i;++k){

        }
    }

k<=i，保证了i-k>=0。

那再次循环，运用第一个代码的简单变形，可以求出以i为最下一行，向上k行的矩形最大值，多次更新ans，愉快AC。
总代码为：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,a[150][150],n;
int maxn(int a,int b){return a>b?a:b;}
//自定义求最大值
int main(){
    scanf("%d",&n);
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;++i){
        for(j=1;j<=n;++j){
            scanf("%d",&a[i][j]);
            a[i][j]+=a[i-1][j];
        }
    }//前缀和处理
    for(i=1;i<=n;++i){
        for(k=1;k<=i;++k){
            int f[150]={0},dp[150]={0};//f[j]表示压缩的矩形第j列的值
            for(j=1;j<=n;++j){          
                f[j]=a[i][j]-a[i-k][j];//求压缩的矩形第j列的值
                dp[j]=maxn(dp[j-1]+f[j],f[j]);
                ans=maxn(ans,dp[j]);
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;//愉快AC
    return 0;
}

另外再提供一种更便于理解的较为暴力的算法：

const int N = 130;
int n, s[N][N];
int ans;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &s[i][j]);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

    for (int x1 = 1; x1 < n; x1++)
        for (int y1 = 1; y1 < n; y1++)
            for (int x2 = x1; x2 <= n; x2++)
                for (int y2 = y1; y2 <= n; y2++)
                    ans = max(ans, s[x2][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2]);
    cout << ans;
    return 0;
}