include [HTML_REMOVED]
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using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
/*
组合数和杨辉三角:第i行第j列的数都是组合数C(i, j) (i,j从0开始)
C(n, 1) = n –> 对应从左向右看斜着的第二列! —> 一定有解
由于杨辉三角左右对称(C(a, b) == C(a, a-b)),又由于找第一次出现,因此一定在左边,右边可以直接删掉!
1 ---> C(0, 0)
1
1 2 ---> C(2, 1)
1 3 ---> C(2n, n)
1 4 6 ---> C(4, 2)
1 5 10
1 6 15 20 —> C(6, 3)
n最大1e9,C(34, 17) > 1e9, C(32, 16) < 1e9,因此只要枚举前16个斜行即可!
性质:
1. 每一斜行从上到下递增
2. 每一横行从中间到两边依次递减
因此我们直接从中间对称轴倒序二分找起即可!
C(r, k)对应的顺序值为:(r + 1) * r / 2 + k + 1
二分的左右端点:l:2k,r:max(n, l)
右端点一定不能比左端点小!
特例:否则当n=1时,会出问题!
*/
// C(a, b) = a!/b!(a-b)! = a * (a-1) .. b个 / b!
LL C(int a, int b){
LL res = 1;
for(int i = a, j = 1; j <= b; i –, j ++){
res = res * i / j;
// 大于n已无意义,且防止爆LL
if(res > n) return res;
}
return res;
}
bool check(int k){
// 二分该斜行,找到大于等于该值的第一个数
// 左边界2k,右边界为max(l, n)取二者最大即可!
int l = 2 * k, r = max(n, l);
while(l < r){
int mid = l + r >> 1;
if(C(mid, k) >= n) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if(C(r, k) != n) return false;
// C(r, k)的从0开始的顺序!
cout << 1ll * (r + 1) * r / 2 + k + 1 << endl;
return true;
}
int main(){
cin >> n;
// 从第16斜行枚举即可!
for(int k = 16; ; k –)
if(check(k)) break;
return 0;
}