卡丹公式和盛金公式推导——求解一元三次方程

看 $AcWing$ 上好像还没有关于盛金公式解三次方程的分享，今天来写一篇~

在做洛谷P1024一元三次方程求解这道题的时候，发现题解里有关于盛金公式的介绍，于是自己也去按卡丹公式(Cardano formula)推导了一下~

题目介绍

有形如：$ax^3+bx^2+cx+d=0$ 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（$a,b,c,d$ 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 $-100$ 至 $100$ 之间），且根与根之差的绝对值 $\ge 1$ 。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 $2$ 位。

卡丹公式介绍

有三元一次方程 $$ax^3+bx^2+cx+d=0$$
设函数 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$
可以求导得到 $$f^\prime (x)=3ax^2+2bx+c$$
该二次函数顶点横坐标为 $$x=-\frac{b}{3a}$$
记为 $\lambda$ ，令 $x-\lambda=y$ ，有 $$f(x)=a\left(y-\frac{a}{3b}\right)^3+b\left(y-\frac{a}{3b}\right)^2+c\left(y-\frac{a}{3b}\right)+d$$
令 $f(x)=0$ ，化简后二次项可消去，得到 $$y^3-py+q=0$$ 其中
$$\begin{align} p&=\frac{b^2-3ac}{3a^2}\\\\ q&=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} \end{align}$$
引入完全立方公式 $$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3$$ 变形得到 $$(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$$
记 $y=u+v$ ，有 $$y^3-3uvy-(u^3+v^3)=0$$ 发现该方程与 $y^3-py+q=0$ 相似，于是设 $$p=3uv,q=-(u^3+v^3)$$
得到 $$\begin{align} u&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3}}\\\\ v&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \end{align}$$
对于方程 $$x^3=\lambda$$ 其三个解分别为 $$x_1=\sqrt[3]{\lambda},x_2=\omega\sqrt[3]{\lambda},x_3=\omega^2\sqrt[3]{\lambda}$$ 其中 $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
由此可知，三次方程的判别式为 $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3$$
于是，卡丹判别法为：
当 $\Delta > 0$ 时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
当 $\Delta = 0$ 时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当 $\Delta < 0$ 时，方程有三个不相等的实根。

三次方程求根公式过于冗长，可通过上述推导得出，故不再赘述。

盛金公式介绍

在推导卡丹判别式的时候，我们有
$$\begin{align} p&=\frac{b^2-3ac}{3a^2}\\\\ q&=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} \end{align}$$
观察 $p$ ，不妨令 $A=b^2-3ac$ ，则可得到
$$\begin{align} p&=\frac{A}{3a^2}\\\\ q&=\frac{2Ab-3a(bc-9ad)}{27a^3} \end{align}$$
此时观察 $q$ ，不妨令 $B=bc-9ad$ ，则可二次简化 $q$ $$q=\frac{2Ab-3aB}{27a^3}$$
于是，当 $A=B=0$ 时， $p=q=0$ ，有三重根，得到盛金公式1 $$x_1=x_2=x_3=-\frac{b}{3a}=-\frac{c}{b}=-\frac{3d}{c}$$
当 $A \ne 0$ 时，从判别式 $\Delta = (\frac{q}{2})^2-(\frac{p}{3})^3$ 入手进行推导。
将 $A$ 和 $B$ 代入并化简得 $$\Delta=\frac{B^2-4A(c^2-3bd)}{324a^4}$$
联系二次方程的求根公式，不妨设 $C=c^2-3bd$ ，则得到盛金总判别式 $$\Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3=\frac{B^2-4AC}{(18a^2)^2}$$
为与总判别式区分，记 $$\delta=B^2-4ac$$ 为 盛金判别式
对于卡丹公式推导过程中的 $$\begin{align} u&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3}}\\\\ v&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \end{align}$$
我们可以用上面的简单代换简化 $$\begin{align} u&=-\frac{1}{3a}\sqrt[3]{Ab+\frac{3a(-B-\sqrt{\delta})}{2}}\\\\ v&=-\frac{1}{3a}\sqrt[3]{Ab+\frac{3a(-B+\sqrt{\delta})}{2}} \end{align}$$
将根式下的内容提出，记作 $$\begin{align} Y_1&=Ab+\frac{3a(-B-\sqrt{\delta})}{2}\\\\ Y_2&=Ab+\frac{3a(-B+\sqrt{\delta})}{2} \end{align}$$
回代自然也有 $$\begin{align} u&=-\frac{\sqrt[3]{Y_1}}{3a}\\\\ v&=-\frac{\sqrt[3]{Y_2}}{3a} \end{align}$$
综合得到 $y$ 的通解 $$\begin{align} y_1&=-\frac{\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2}}{3a}\\\\ y_2&=\frac{(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})+\sqrt{3}(\sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2})i}{-6a}\\\\ y_3&=\frac{(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})-\sqrt{3}(\sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2})i}{-6a} \end{align}$$
同样可以得到 $x$的通解 $$\begin{align} x_1&=\frac{-b-(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})}{3a}\\\\ x_2&=\frac{-2b+(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})+\sqrt{3}(\sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2})i}{6a}\\\\ x_3&=\frac{-2b+(\sqrt[3]{Y_1}+\sqrt[3]{Y_2})-\sqrt{3}(\sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2})i}{6a} \end{align}$$
以上六式即为 盛金公式2 ，前提是 $\delta=B^2-4AC>0$ 。显然，当 $\delta>0$ 时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当 $\delta=0$ 时，以盛金公式2求解，有
$$x_1=\frac{-b-2\sqrt[3]{Y}}{3a},x_2=x_3=\frac{-b+\sqrt[3]{Y}}{3a}$$ 其中 $$Y=\frac{2Ab-3aB}{2}$$ 联系 $\delta=0$ ，有 $$(2Ab-3aB)^2=4A^3$$ 显然，此时 $A>0$ ，同乘以 $Y$ 并变形得到 $$Y=\frac{(2Ab-3aB)^3}{8A^3}$$ 代入 $x$ 此时的特解得到 $$x_1=-\frac{b}{a}+\frac{B}{A},x_2=x_3=-\frac{B}{2A}$$ 此即为盛金公式3。

当 $\delta<0$ 时，有 $$\begin{align} Y_1&=Ab+\frac{3a(-B-\sqrt{-\delta})}{2}i\\\\ Y_2&=Ab+\frac{3a(-B+\sqrt{-\delta})}{2}i \end{align}$$
不妨设 $a>0$ ，有 $$\begin{align} Y_1&=Ab+\frac{3a(-B-\sqrt{4A^3-(2Ab-3aB)^2})}{2}i\\\\ Y_2&=Ab+\frac{3a(-B+\sqrt{4A^3-(2Ab-3aB)^2})}{2}i \end{align}$$
利用复数开方法则，有 $$\sqrt[3]{Y_1}= \left\\{\begin{aligned} & \sqrt{A}\left(\cos\frac{\theta}{3}+i\sin\frac{\theta}{3}\right) \\\ & \sqrt{A}\left[\cos\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)\right] \\\ & \sqrt{A}\left[\cos\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{3}-\frac{2\pi}{3}\right)\right] \\\ \end{aligned} \right.$$
$$\sqrt[3]{Y_2}= \left\\{\begin{aligned} & \sqrt{A}\left(\cos\frac{\theta}{3}-i\sin\frac{\theta}{3}\right) \\\ & \sqrt{A}\left[\cos\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)-i\sin\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)\right] \\\ & \sqrt{A}\left[\cos\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)-i\sin\left(\frac{\theta}{3}-\frac{2\pi}{3}\right)\right] \\\ \end{aligned} \right.$$
其中 $$\theta=\arccos\left(\frac{2Ab-3aB}{2\sqrt{A^3}}\right)$$
有约束条件 $$\sqrt[3]{Y_1}\cdot\sqrt[2]{Y_2}=A$$
选取合适的 $u$ 和 $v$ 代入盛金公式2，得到
$$\left\\{\begin{aligned} x_1&=\frac{-b-2\sqrt{A}\cos\frac{\theta}{3}}{3a} \\\ x_2&=\frac{-b+\sqrt{A}\left(\cos\frac{\theta}{3}+\sqrt{3}\sin\frac{\theta}{3}\right)}{3a} \\\ x_2&=\frac{-b+\sqrt{A}\left(\cos\frac{\theta}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{\theta}{3}\right)}{3a} \\\ \end{aligned} \right.$$
此即为 盛金公式4。当然为了形式上更加规范，也可用差角公式进行改写
$$\left\\{\begin{aligned} x_1&=\frac{-b-2\sqrt{A}\cos\frac{\theta}{3}}{3a} \\\ x_2&=\frac{-b-2\sqrt{A}\left(\frac{\theta}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)}{3a} \\\ x_2&=\frac{-b-2\sqrt{A}\left(\frac{\theta}{3}-\frac{2\pi}{3}\right)}{3a} \\\ \end{aligned} \right.$$
以上推导盛金公式4的过程是基于 $a>0$ 的假设的，当 $a<0$ 时推导过程完全一致，只需互换 $Y_1$ 和 $Y_2$ 的位置即可。
至此，盛金公式推导完毕。

题目解答

当然可以用二分来做出三次方程的解，提供题解如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a, b, c, d;
double fc(double x)
{
    return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
}
int main()
{
    double l, r, m, x1, x2;
    int s = 0, i;
    scanf("%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d);
    // 枚举互相不重叠的每一个长度为1的区间，在区间内进行二分查找
    for (i = -100; i < 100;i++)
    {
        l = i; 
        r = i + 1;
        x1 = fc(l); 
        x2 = fc(r);
        if(!x1) 
        {
            printf("%.2lf ", l); 
            s ++;
        }      //判断左端点，是零点直接输出。

                        //不能判断右端点，会重复。
        if(x1 * x2 < 0)                             //区间内有根。
        {
            while(r - l >= 0.001)                     //二分控制精度。
            {
                m = (l + r) / 2;  //middle
                if(fc(m) * fc(r) <= 0) 
                   l = m; 
                else 
                   r = m;   //计算中点处函数值缩小区间。
            }
            printf("%.2lf ", r);  
            //输出右端点。
            s++;
        }
        if (s == 3) 
            break;             
            //找到三个就退出大概会省一点时间
    }
    return 0;
}

用盛金公式做就更简单啦

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
     double a, b, c, d;
     double as, bs, t, si;
     double x1, x2, x3;
     cin >> a >> b >> c >> d;
     as = b * b - 3 * a * c;
     bs = b * c - 9 * a * d;
     t = (2 * as * b - 3 * a * bs) / (2 * sqrt(as * as * as));
     si = acos(t);
     x1 = (-b - 2 * sqrt(as) * cos(si / 3)) / (3 * a);
     x2 = (-b + sqrt(as) * (cos(si / 3) + sqrt(3) * sin(si / 3))) / (3 * a);
     x3 = (-b + sqrt(as) * (cos(si / 3) - sqrt(3) * sin(si / 3))) / (3 * a);
     cout << fixed << setprecision(2) << x1 << " ";
     cout << fixed << setprecision(2) << x3 << " ";
     cout << fixed << setprecision(2) << x2 << " ";
     return 0;
}

$$The\ End~$$