负数如何在计算机中表示
-x = ~x + 1
1 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
~1 = 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
-1 = 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

最大公约数和最小公倍数

求最大公约数
写法一
int gcd(int a,int b){
    return y == 0?x:gcd(b,a%b);
}
写法二
int gcd(int a,int b){
    return a%b?gcd(b,a%b):b;
}

求最小公倍数
    int x = a*b/gcd(a,b);

数论O(1)

如果 a,ba,b 均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 ab−a−b。

两个数的最大公约数为1
(p,q) = 1;
不能由p和q凑出来的最大的数是(p-1)(q-1)-1

例题
小明开了一家糖果店。

他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。

糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。

当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。

大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式
两个正整数 n,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式
一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围
2≤n,m≤1000，
保证数据一定有解。

输入样例：
4 7
输出样例：
17

#include<iostream>

using namespace std;

int main(){
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    cout << n*m - n - m << endl;
    return 0;
}

数列求和公式

等差数列：
    通项公式：an = a1 + (n-1)d
    求和公式：sn = na1 + n(n-1)*d/2 = n*(a1 + an)/2

等比数列：
    通项公式：an = a1 * q ^ (n - 1)
    求和公式：sn = a1 * (1 - q ^ n)/(1-q)

一维差分

给定a[1],a[2],a[3]...
构造差分数组b[N]，使得a[i] = b[1] + b[2] + ... + b[i]

#核心操作
将a[L~R]全部加上c，等价于:
b[L] += c,b[R + 1] -= c(个人理解就是一个内层递推原理)
时间复杂度优化 O(n) ---> O(1)

二维差分

给定原矩阵a[i,j]构造差分矩阵b[i,j],使得a[][]是b[][]的二维前缀和

core operation
以a[x1][y1]为左上角,a[x2][y2]为右下角的子矩阵所有的数a[i][j] 加 c;

S[x1][x2] += c;
S[x1][y2 + 1] -= c;
S[x2 + 1][y1] -= c;
S[x2 + 1][y2 + 1] += c;

双指针

将O(n^2)复杂度优化为O(n)

#经典案例
按空格分割字符串
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main(){
    char a[1000];
    gets(a);
    int n = strlen(a);
    for(int i = 0;i < n;i++){
        int j = i;
        #核心代码逻辑
        while(j < n && a[j] != ' ') j++;

        for(int k = i;k < j;k++) cout << a[k];
        cout << endl;
    i = j;
    }
    return 0;
}

BFS

#队列 先进先出 bfs
#栈   先进后出(递归形式表示) dfs

关于mod的神奇推理

给定数列1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, …，从第4 项开始，每项都是前3 项的和。求
第20190324 项的最后4 位数字。
公式:a%10000 + b%10000 + c%10000 = (a+b+c)%10000

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;
int a=1,b=1,c=1;

LL ans(int n){
    int res = 0;
    for(int i = 4;i <= n;i++){
        res = a + b + c;
        if(res > 10000){
            res %=10000;
        }
        a = b,b = c, c = res;
    }

    return res;
}

int main(){
    int n = 20190324 ;

    cout << ans(n) << endl;

    return 0;
}

均值不等式

x1 + x2 + … + xn = c
则有:(x^2表示x的平方)

(x1^2 + x2^2 +...+ xn^2)/2  >= (x1+x2+x3+...+xn)^2/2

且当x1 == x2 == x3 ==..==xn == c/n时取到最小值

isdigit(char(c));字符串中字符c是否是否是数字

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return false;
        int n = matrix.size(), m = matrix[0].size();
        int l = 0, r = n * m - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (matrix[mid / m][mid % m] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return matrix[r / m][r % m] == target;
    }
};
中位数/列数=第几行，中位数%列数=第几列的第几个数，定位二维数组太庙啦！

 坐标（x1,y1）（x2,y2）之间的曼哈顿距离是abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2) - 1