算法提高课DP数字三角形模型总结
详细题解
1.摘花生详细题解
2.最低通行费详细题解
3.方格取数详细题解
模块总结
总结(在本文,无超链接)
AcWing 898. 数字三角形
给定一个如下图所示的数字三角形,从顶部出发,在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点,一直走到底层,要求找出一条路径,使路径上的数字的和最大。
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输入格式
第一行包含整数 n,表示数字三角形的层数。
接下来 n 行,每行包含若干整数,其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。
输出格式
输出一个整数,表示最大的路径数字和。
数据范围
1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000
输入样例:
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出样例:
30
题解C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510,INF=1e9;
int f[N][N];
int w[N][N];
int n;
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
scanf("%d",&w[i][j]);
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=i+1;j++)
f[i][j]=-INF;
f[1][1]=w[1][1];
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
f[i][j]=max(f[i-1][j]+w[i][j],f[i-1][j-1]+w[i][j]);
int res;
for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);
printf("%d",res);
return 0;
}
AcWing 1015. 摘花生
题目描述
Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。
她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图),从西北角进去,东南角出来。
地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗,上面有若干颗花生,经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。
Hello Kitty只能向东或向南走,不能向西或向北走。
问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。
输入格式
第一行是一个整数T,代表一共有多少组数据。
接下来是T组数据。
每组数据的第一行是两个整数,分别代表花生苗的行数R和列数 C。
每组数据的接下来R行数据,从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数,按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。
输出格式
对每组输入数据,输出一行,内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。
数据范围
1≤T≤100,
1≤R,C≤100,
0≤M≤1000
输入样例:
2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5
输出样例:
8
16
动态规划
(数字三角形模型)
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n,r,c;
int f[N][N],w[N][N];
int main(){
scanf("%d",&n);
while(n--){
scanf("%d%d",&r,&c);
for(int i=1;i<=r;i++)
for(int j=1;j<=c;j++)
scanf("%d",&w[i][j]);
for(int i=1;i<=r;i++)
for(int j=1;j<=c;j++)
f[i][j]=max(f[i][j-1]+w[i][j],f[i-1][j]+w[i][j]);
printf("%d\n",f[r][c]);
}
return 0;
}
AcWing 1018. 最低通行费
一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格,去参加一个非常重要的商务活动。
他要从网格的左上角进,右下角出。
每穿越中间 1 个小方格,都要花费 1 个单位时间。
商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。
而在经过中间的每个小方格时,都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。
请问至少需要多少费用?
注意:不能对角穿越各个小方格(即,只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格)。
输入格式
第一行是一个整数,表示正方形的宽度 N。
后面 N 行,每行 N 个不大于 100 的正整数,为网格上每个小方格的费用。
输出格式
输出一个整数,表示至少需要的费用。
数据范围
1≤N≤100
输入样例:
5
1 4 6 8 10
2 5 7 15 17
6 8 9 18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33
输出样例:
109
样例解释
样例中,最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。
思路
这里有一个好玩的:当这个商人不回头的走到终点时所用的时间为2n-2,而题目要求不超过2n-1,因此商人不能回头(因为回头一次需要多加两个单位时间,最终所用时间不合法)
本题思维与摘花生类似,就不赘述了
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110,INF=1e9;
int n;
int f[N][N],w[N][N];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&w[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i==1&&j==1) f[1][1]=w[1][1]; //特判左上角
else{
f[i][j]=INF;
if(i>1) f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+w[i][j]);
if(j>1) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+w[i][j]);
}
printf("%d",f[n][n]);
return 0;
}
AcWing 1027. 方格取数
题目描述
设有 N×N 的方格图,我们在其中的某些方格中填入正整数,而其它的方格中则放入数字0。如下图所示:
某人从图中的左上角 A 出发,可以向下行走,也可以向右行走,直到到达右下角的 B 点。
在走过的路上,他可以取走方格中的数(取走后的方格中将变为数字0)。
此人从 A 点到 B 点共走了两次,试找出两条这样的路径,使得取得的数字和为最大。
输入格式
第一行为一个整数N,表示 N×N 的方格图。
接下来的每行有三个整数,第一个为行号数,第二个为列号数,第三个为在该行、该列上所放的数。
行和列编号从 1 开始。
一行“0 0 0”表示结束。
输出格式
输出一个整数,表示两条路径上取得的最大的和。
数据范围
N≤10
输入样例:
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例:
67
思路
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
int n;
int f[N*2][N][N];
int w[N][N];
int main(){
scanf("%d",&n);
int a,b,c;
while(cin>>a>>b>>c,a) w[a][b]=c;
for(int k=2;k<=n*2;k++)
for(int i1=1;i1<k;i1++)
for(int i2=1;i2<k;i2++){
int j1=k-i1,j2=k-i2;
int t=w[i1][j1];
if(i1!=i2) t+=w[i2][j2];
int &x=f[k][i1][i2]; //竞赛中常用的一种提高码速的方式
x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
}
printf("%d",f[n*2][n][n]);
return 0;
}
总结
思路相信都懂了,在这里主要是就不同情况的集合初始化做一下整理
1.权重都为正,求最大值:直接初始化为0即可(例摘花生,方格取数),且DP时都是从1开始枚举
摘花生
方格取数
2.权重有正有负,求最大值,需初始化为-INF,DP时行从2开始枚举(如果从第一行开始,第一行唯一的数左边和上边都是-INF,取最大值时会影响结果)(例数字三角形)
3.权重全为正,求最小值,初始化为INF,DP时从一开始枚举,但要加特判条件(也是为了避免枚举第一行第一列的数时被其左边和上边的INF影响)(例最低通行费)