题目

ZOJ3785：What day is that day?
求$(1^1+2^2+3^3+…+N^N)%7$

输入

下面$T$行，每行包含一个数字$N (1≤N≤1e9)$

输出

$(1^1+2^2+3^3+…+N^N)%7$

样例输入

2
1
2

样例输出

1
5

分析

一个巨大的数字的巨大的幂的模。
一看就是个费马小定理.用费马定理降幂
回顾费马小定理$ 如果a p互质 那么a^{p-1} ≡ 1 (mod \ \ p)$

这里有$N^N=(7n_1+k_1)^N=(k_1)^N(mod \\ p)$

进一步$(k_1)^N =(k_1)^{(6*n_2+k_2)}(mod \\ p)$

根剧费马小定理有$(k_1)^{(6*n_2)}=1(mod \\ p)$

$(k_1)^N =(k_1)^{(6*n_2+k_2)}=(k_1)^{(k_2)}(mod \\ p) $

费马小定理降幂

上面就是费马小定理降幂推导。
简单讲就是两步，对于幂$p^n\%q$
1. 对底数求模 p%q=m
2. 对指数求模 n%(q-1)=k

最终$p^n\%q=m^k\%q$

继续分析

注意到求出来的$(k_1)^{k_2}%7$,$0<=k_1<7,0<=k_2<6$一共7*6=42种情况

但每42个数后他们得起始数字会发生改变，所以总循环数为7∗42=294

另外

直接暴力打表 找规律完事

代码

# include<iostream>
# include<cmath>
using namespace std;
int s[300];
long long qmi(int a,int k,int q)
{
    long long res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=(res*a)%q;
        a=(long long)a*a%q;
        k=k>>1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=294;i++)
    {
        s[i]=(s[i-1]+qmi(i,i,7))%7;
    }
    while(t--)
    {
        long long n;
        cin>>n;
        n=n%294;
        cout<<s[n]<<endl;
    }
}