你是一名饭店的财务，月底了要和老板汇报这个月赚Q咋样。你手头记录了每天的营收额

• 老板要到第l天到第r天这几天的营收额
• 老板要每周的营收额
• 老板发现你把某连续几天的营收额写错了，改正和求每周的营业额
• 老板发现你不止一次把连续几天的营收写错了，改正后求这个月的营收额

接下来，我们把上述情景依次对应到下面的几个场景中去，来理解前缀和差分

场景一 ：有n个数的序列a[n]，求[l, r]的区间和

for(int i = l; i <= r；i++)
    sum = + a[i];

时间复杂度 ： $O(n)$
(os :”不错嘛”)

场景二 ：有n个数的序列a[n]，有m次询问，每次询问[l, r]的区间和

那还不简单把场景一重复m次即可

时间复杂度 ： $O(n*m)$
(os :”有点久哦”)

所有这时候前缀和数组来帮忙

    for(int i = 1; i <=n; i++) 
        s[i] = s[i - 1] + a[i];

    while(m --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

时间复杂度 ： $O(n + m)$ = 求前缀和 $O(n)$ + 区间求和 $O(m * 1)$
(os :”hin棒 时间换空间”)

场景三 ：有n个数的序列a[n]，把某个区间[l1, r1]的的所有数得加上c，(假设修改区间的长度为p)接下来有m次询问，每次询问[l, r]的区间和

那我把对应区间改了呗，还能咋地

    for(int i = l1; i <= r1; i++) 
        a[i] += c;

     for(int i = 1; i <=n; i++) 
        s[i] = s[i - 1] + a[i];

    while(m --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

时间复杂度 ： $O(p + n + m)$ = 修改区间$O(p)$ + 求前缀和 $O(n)$ + m次区间求和 $O(m * 1)$
(os :”TMD，不就改一改吗完事儿 “)

场景四 ：有n个数的序列a[n]，接下来有k个操作，每个操作包含三个整数l1, r1, c，表示将序列中[l1, r1]之间的每个数加上c(假设修改区间的长度为p); 再接下来有m次询问，每次询问[l, r]的区间和

那我修改对应区间k次呗，就是累点

// 假设每个修改区间的长度为p      
    while(k --)
   {
       int l1 ,r1 ,c;
       cin >> l1  >> r1 >> c;
       for(int i = l1; i <= r1; i++) 
        a[i] += c;
   }

    for(int i = 1; i <=n; i++) 
        s[i] = s[i - 1] + a[i];

    while(m --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

时间复杂度: $O(k*p + n + m)$ = 修改区间$O(k * p)$ + 求前缀和 $O(n)$ + m次区间求和 $O(m * 1)$
(os :”TMD，终于改完事，不对啊，学过差分组数啊，我可以把这修改一次区间的时间复杂度将到常数级啊 “)

差分数组

• 定义 ： b[i] = a[i] - a[i-1]

  • b是a的差分， a是b的前缀和

• 优势 ：快速处理区间加减操作 如 区间[L,R]中的每个数加上c

  • 第一个受影响的差分数组中的元素为b[L],即b[L]+=c，那么由差分数组计算原数组的时候L后面的数都会加上c；
  • 最后一个受影响的差分数组中的元素为b[R],所以令b[R+1] -= x，即可保证不会影响到R以后原数组元素的计算

• 小结 ：不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可，再求差分数组的前缀计算出原数组

所以，利用差分数组，上述情景的时间复杂度变为 ：

$O(k * 2 + n + m)$ = 修改区间 $O(k * 2)$ + 求前缀和 $O(n)$ + m次区间求和 $O(m * 1)$

总结

• 前缀和数组 ：快速处理区间和操作
• 差分数组 ： 快速处理区间加减操作

小试牛刀

797. 差分 一次性练习到了区间修改和前缀和

题目要求

输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含n个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤1000001≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

c++代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N],b[N];
// 区间修改
void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    // 读入原数组
    for(int i = 1; i <= n ; i ++)
        scanf("%d",&a[i]);
    // 构造差分    
    for(int i = 1; i <= n ; i ++)
        insert(i, i, a[i]);
    // 区间修改    
    while(m --)
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d",&l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    // 计算原数组 = 差分数组的前缀和  
    for(int i = 1; i <= n ; i++) a[i] = b[i] + a[i-1];
    // 输入原数组
    for(int i = 1; i <= n ; i++) printf("%d ", a[i]);

    return 0;

}

思考与拓展

二维的前缀和差分 yxc常用模板1

• 二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

• 二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

如果数组频繁被修改，且频繁的查询区间和呢？那就得自己学学树状数组了

树状数组主要用于解决基于区间上的更新以及求和问题，一般的方法时间复杂度为O(N)，树状数组可以把时间复杂度降低到O(logN)。

参考文献

• https://www.cnblogs.com/young-children/p/11749156.html
• https://blog.csdn.net/qq_40487134/article/details/102708870?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-3&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-3