二分图

1. 二分图的判断

一个图是二分图<=>当且仅当图中不含奇数环。
如何判断一个图是否是二分图？等价于用2种颜色的染色法染图，如果没有冲突，说明是二分图；冲突的话不是二分图。

步骤：

step1:依次遍历 n个节点
step2: 如果当前点没有染色，则把当前点所在的连通块用dfs的方法全部染色；dfs染色的返回值表示当前点染色过程中是否有冲突？如果有冲突，则不是二分图；如果没有冲突，则是二分图。

代码模板

时间复杂度O(n + m)

bool dfs(int p, int c)
{
    color[p] = c;
    for(int i = h[p]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(color[j] == 0) {
            if(dfs(j, 3 - c) == false) return false;
        } else if(color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

bool bi_part_graph()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(color[i] == false)
        {
            if(dfs(i, 1) == false) return false;
        }
    }

    return true;
}

2.二分图的最大匹配

Step1: 对二分图的每个节点 h[i] ，试图为当前节点 j 找一个配对节点
Step2: 具体寻找过程，依次遍历当前节点 j的所有邻接点 t ，如果 t没有配对或者可以为 t配对的对端节点重新配对，则当前节点 j可以和 t配对；如果 j不能和所有邻接点配对，则 t无法配对

代码模板

时间复杂度最坏情况下O(nm), 实际情况下远小于O(nm)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
int st[N];

void init()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    idx = 0;
}

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

int find(int x)
{
    for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(st[j] == false)
        {
            st[j] = true;
            if(match[j] == false || find(match[j]) == true)
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    cin >> n1 >> n2 >> m;

    init();
    while(m--)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n1; i++)
    {
        memset(st, 0, sizeof st);
        if(find(i)) res ++;
    }

    cout << res << endl;

    return 0;

}