我们只需考虑有向图上的算法，因为无向图是特殊的有向图。我们可以将所有无向边 $u \leftrightarrow v$，都拆分成两条有向边：$u \leftarrow v$ 和 $u \rightarrow v$。
为了方便叙述，我们做如下约定：$n$ 表示图中点数，$m$ 表示图中边数。

图的存储

图一般有两种存储方式：

1. 邻接矩阵。开个二维数组，g[i][j] 表示点 $i$ 和点 $j$ 之间的边权。
2. 邻接表。邻接表有两种常用写法，我推荐第二种，代码更简洁，效率也更高，后面有代码模板：
   (1) 二维vector：vector<vector<int>> edge，edge[i][j] 表示第 $i$ 个点的第 $j$ 条邻边。
   (2) 数组模拟邻接表：为每个点开个单链表，分别存储该点的所有邻边。

最短路算法

最短路算法分为两大类：

1. 单源最短路，常用算法有：
   (1) dijkstra，只有所有边的权值为正时才可以使用。在稠密图上的时间复杂度是 $O(n^2)$，稀疏图上的时间复杂度是 $O(mlogn)$。
   (2) spfa，不论边权是正的还是负的，都可以做。算法平均时间复杂度是 $O(km)$，$k$ 是常数。 强烈推荐该算法。
2. 多源最短路，一般用floyd算法。代码很短，三重循环，时间复杂度是 $O(n^3)$。

算法模板

我们以 poj2387 Til the Cows Come Home 题目为例，给出上述所有算法的模板。

题目大意

给一张无向图，$n$ 个点 $m$ 条边，求从1号点到 $n$ 号点的最短路径。
输入中可能包含重边。

dijkstra算法 $O(n^2)$

最裸的dijkstra算法，不用堆优化。每次暴力循环找距离最近的点。
只能处理边权为正数的问题。
图用邻接矩阵存储。

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;

int n, m;
int g[N][N], dist[N];   // g[][]存储图的邻接矩阵, dist[]表示每个点到起点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定

void dijkstra()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int id, mind = INF;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && dist[j] < mind)
            {
                mind = dist[j];
                id = j;
            }
        st[id] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], dist[id] + g[id][j]);
    }
}

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            g[i][j] = INF;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    dijkstra();
    cout << dist[n] << endl;
    return 0;
}

dijkstra+heap优化 $O(mlogn)$

用堆维护所有点到起点的距离。时间复杂度是 $O(mlogn)$。
这里我们可以手写堆，可以支持对堆中元素的修改操作，堆中元素个数不会超过 $n$。也可以直接使用STL中的priority_queue，但不能支持对堆中元素的修改，不过我们可以将所有修改过的点直接插入堆中，堆中会有重复元素，但堆中元素总数不会大于 $m$。
只能处理边权为正数的问题。
图用邻接表存储。

C++ 代码

typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

spfa算法 $O(km)$

bellman-ford算法的优化版本，可以处理存在负边权的最短路问题。
最坏情况下的时间复杂度是 $O(nm)$，但实践证明spfa算法的运行效率非常高，期望运行时间是 $O(km)$，其中 $k$ 是常数。
但需要注意的是，在网格图中，spfa算法的效率比较低，如果边权为正，则尽量使用 dijkstra 算法。

图采用邻接表存储。
队列为手写的循环队列。

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;

int n, m;
int dist[N], q[N];      // dist表示每个点到起点的距离, q 是队列
int h[N], e[M], v[M], ne[M], idx;       // 邻接表
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, v[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void spfa()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
    dist[1] = 0;
    q[tt++] = 1, st[1] = 1;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh++];
        st[t] = 0;
        if (hh == n) hh = 0;
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
            if (dist[e[i]] > dist[t] + v[i])
            {
                dist[e[i]] = dist[t] + v[i];
                if (!st[e[i]])
                {
                    st[e[i]] = 1;
                    q[tt++] = e[i];
                    if (tt == n) tt = 0;
                }
            }
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> m >> n;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
    }
    spfa();
    cout << dist[n] << endl;
    return 0;
}

floyd算法 $O(n^3)$

标准弗洛伊德算法，三重循环。循环结束之后 $d[i][j]$ 存储的就是点 $i$ 到点 $j$ 的最短距离。
需要注意循环顺序不能变：第一层枚举中间点，第二层和第三层枚举起点和终点。

由于这道题目的数据范围较大，点数最多有1000个，因此floyd算法会超时。
但我们的目的是给出算法模板哦~

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;

int n, m;
int d[N][N];    // 存储两点之间的最短距离

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            d[i][j] = i == j ? 0 : INF;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        d[a][b] = d[b][a] = min(c, d[a][b]);
    }
    // floyd 算法核心
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
    cout << d[1][n] << endl;
    return 0;
}