有n个数，用S表示入栈，X表示出栈，那么合法的序列有多少个(S的个数为n)
从而求出n个元素的排列个数Cn的简单公式
以填空的形式完成下列证明：
第1步：求出所有组合序列数
有2n个格子取出n个格子，在格子里子填上S，根据组合数定公式一共有【$C_{2n}^{n}$】种方式，在每一种剩余的格子中填上X，填S的方式就是“S，X”的组合序列的种类。注意：这个数即包括合法的和不合法的序列。
我们的思路是：合法的序列数 =序列总数 - 不合法的序列数。那么怎么求出不合法的数列数呢？
第2步：构造不合法序列
一个合法的序列，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的【X】数一定不多于【S】数。
考虑一个含n个S、n个X的2n位序列，扫描到第2m+1位上时有m+1个X和m个S（注意：这是1个不合法的序列，容易证明一定存在这样的情况）
则后面的X-S排列中必有【n-m-1】个X和【n-m】个S。
通过上述方法，我们构造出了一个不合法的序列，但仍然不能求其个数。
第3步 进行“反射”继续构造
将2m+2及其以后的部分X变成S、S变成X，则对应一个【n-m】个X和【n-m-1】个S的“S，X”的序列。且两才一一对应（相似的思路证明两者一一对应）。
由于新构造的序列和不合法的序列一一对应，而且可以求出序列的数量。
第4步 求出不合法序列的数量
也就是相当于有2n个格子取出【n-1】个格子，在格子里子填上S的方式一共有【$C_{2n}^{n-1}$】种，这恰恰等于不合法的数序列数。
第5步：求出合法数列的数量
根据第1步中给出的思路，所以合法的序列数是：
【$\dfrac{(2n)!}{n! \times n!}-\dfrac{(2n)! }{(n+1)! \times (n-1)!}$】
=【$\dfrac{1}{n+1} \times (\dfrac{(2n)!(n+1)}{n! \times n!}-\dfrac{(2n)! \times n}{n! \times n!})$】
=【$\dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{(2n)!}{n! \times n!}$】
=【$\dfrac{1}{n+1} \times C_{2n}^{n}$】