向上标记法 O(mn)

不常用

倍增 mlog(n)

    (1) 先把高层的向低层的跳
    (2) 两个同时跳到lca的儿子
    预处理 nlog(n)
    查询 log(n)
    设置哨兵: depth[0] = 0

int depth[N], fa[N][16];
int q[N];

void bfs(int root){
    memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
    depth[0] = 0; depth[root] = 1;
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = root;
    while(hh <= tt){
        int t = q[hh ++ ];
        for(int i = h[t];~i;i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if(depth[j] > depth[t] + 1){
                depth[j] = depth[t] + 1;
                q[ ++ tt] = j;
                fa[j][0] = t;
                for(int k = 1;k <= 15;k ++ ){
                    fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
                }
            }
        }
    }
}

int lca(int a,int b){
    if(depth[a] < depth[b]) swap(a, b);

    // 1.
    for(int k = 15;~k;k -- ){
        if(depth[fa[a][k]] >= depth[b])
            a = fa[a][k];
    }
    if(a == b) return a;
    // 2.
    for(int k = 15;~k;k -- ){
        if(fa[a][k] != fa[b][k])
            a = fa[a][k], b = fa[b][k];
    }

    return fa[a][0];
}

tarjan(离线算法) O(n + m)

点分三类    已经访问的, 且回溯过的(标记为 2)
            未访问的(标记为 0)
            正在访问的(标记为 1)

int st[N];
int res[N];
// fisrt 是另外一个点 second 是 query_id
vector<PII> query[N];

int find(int x){
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void tarjan(int u){
    st[u] = 1;
    for(int i = h[u];~i;i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(!st[j]){
            tarjan(j);
            p[find(j)] = find(u);
        }
    }
    for(int i = 0;i < query[u].size();i ++ ){
        int id = query[u][i].second;
        int y = query[u][i].first;
        if(st[y] == 2){
            int lca = find(y);
            ans[id] = lca;
        }
    }
    st[u] = 2;
}

RMQ

树链剖分