作用

1.将两个集合合并
2.询问两个元素是否在一个集合中
时间复杂度基本上是O(1);

基本原理

1.每一个集合用树来维护，每一个集合的编号是根节点，查找是去看他爸爸是不是根节点，不是再向上，所以每一个节点都要存储他的父节点，p[x]就是x的父节点
2.判断根节点 if（p[x]==x）;
3.集合合并，直接让其中一个变成儿子（子节点）,px是x的编号，py是y的编号，插入p[x]=y;
4.求x的集合编号，while(p[x]!=x)x=p[x],因为他的循环次数取决于树的高度，时间复杂度会很高，所以将其优化为：把所有子节点都指向根节点：（路径压缩）；

模板

(1)朴素并查集：

        int p[N]; //存储每个点的祖宗节点

        // 返回x的祖宗节点
        int find(int x)
        {
            if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
            return p[x];
        }

        // 初始化，假定节点编号是1~n
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;

        // 合并a和b所在的两个集合：
        p[find(a)] = find(b);

(2)维护size的并查集：

        int p[N], size[N];
        //p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量

        // 返回x的祖宗节点
        int find(int x)
        {
            if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
            return p[x];
        }

        // 初始化，假定节点编号是1~n
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        {
            p[i] = i;
            size[i] = 1;
        }

        // 合并a和b所在的两个集合：
        p[find(a)] = find(b);
        size[b] += size[a];

(3)维护到祖宗节点距离的并查集：

        int p[N], d[N];
        //p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离

        // 返回x的祖宗节点
        int find(int x)
        {
            if (p[x] != x)
            {
                int u = find(p[x]);
                d[x] += d[p[x]];
                p[x] = u;
            }
            return p[x];
        }

        // 初始化，假定节点编号是1~n
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        {
            p[i] = i;
            d[I] = 0;
        }

        // 合并a和b所在的两个集合：
        p[find(a)] = find(b);
        d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量

例题

例题链接

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int p[N];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;

    while (m -- )
    {
        char op[2];
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);
        if (*op == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else
        {
            if (find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }

    return 0;
}

例题2

例题链接

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int p[N], size[N];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        p[i] = i;
        size[i] = 1;
    }

    while (m -- )
    {
        string op;
        int a, b;
        cin >> op;

        if (op == "C")
        {
            cin >> a >> b;
            a = find(a), b = find(b);
            if (a != b)
            {
                p[a] = b;
                size[b] += size[a];
            }
        }
        else if (op == "Q1")
        {
            cin >> a >> b;
            if (find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
        else
        {
            cin >> a;
            cout << size[find(a)] << endl;
        }
    }

    return 0;
}