背包问题中 体积至多/恰好/至少是 j 的初始化问题的研究

学背包问题的过程

• 1、一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前i个物品中选，且总体积不超过j的问题。
• 2、慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前i个物品中选，且总体积恰好是j的问题。例如 AcWing 1023. 买书 ，求的是恰好是j的总方案数问题。
• 3、同时还出现了状态表示是：从前i个物品中选，且总体积至少是j的问题。例如 AcWing 1020. 潜水员 ，求的是总体积至少是j的最小价值

可以观察到，他们的分析方法以及状态转移方程都是一样的，唯独是初始化有很大的不同

求方案数问题

初始化总结

二维情况

1、体积至多j，f[0][i] = 1, 0 <= i <= m，其余是0
2、体积恰好j，f[0][0] = 1, 其余是0
3、体积至少j，f[0][0] = 1，其余是0

一维情况

1、体积至多j，f[i] = 1, 0 <= i <= m，
2、体积恰好j，f[0] = 1, 其余是0
3、体积至少j，f[0] = 1，其余是0

不超过j

​ 从前i个物品中选，且总体积不超过j的总方案数，初始化是f[0][i] = 1, 0 <= i <= m，其余是0

01背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能选一个，求总体积不超过m的方案数

输入
4 5
2 2 3 7
输出
7

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[0][i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选无数多个，求总体积不超过m的方案数

输入
3 5
2 3 7
输出
7

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[0][i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) f[i] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

恰好是j

​ 从前i个物品中选，且总体积恰好是j的总方案数，初始化是f[0][0] = 1, 其余是0

01背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能选一个，求总体积恰好是m的方案数

输入
4 5
2 2 3 7
输出
2

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选无数多个，求总体积恰好是m的方案数

输入
3 5
2 3 7
输出
1

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] += f[i][j - v];
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = f[j] + f[j - v];
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

至少是j

​ 从前i个物品中选，且总体积至少是j的总方案数，初始化是f[0][0] = 1, 其余是0（至少的情况，j需要从0枚举到m，或者从m枚举到0）

01背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能选一个，求总体积至少是m的方案数

输入
3 5
2 3 7
输出
11

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[i - 1][0]
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][max(0,j - v)];
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        for(int j = m;j >= 0;j --)//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[0]
        {
            f[j] = f[j] + f[max(0,j - v)];
        }
    }
    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选无数多个，求总体积至少是m的方案数

答案是无穷多种方案数

求最大值最小值问题

初始化总结

二维情况

1、体积至多j，f[i,k] = 0，0 <= i <= n, 0 <= k <= m（只会求价值的最大值）
2、体积恰好j，

• 当求价值的最小值：f[0][0] = 0, 其余是INF
• 当求价值的最大值：f[0][0] = 0, 其余是-INF

3、体积至少j，f[0][0] = 0，其余是INF（只会求价值的最小值）

一维情况

1、体积至多j，f[i] = 0, 0 <= i <= m（只会求价值的最大值）
2、体积恰好j，

• 当求价值的最小值：f[0] = 0, 其余是INF
• 当求价值的最大值：f[0] = 0, 其余是-INF

3、体积至少j，f[0] = 0，其余是INF（只会求价值的最小值）

不超过j

​ 从前i个物品中选，且总体积不超过j的最大价值，初始化是f[i,k] = 0，0 <= i <= n, 0 <= k <= m（只会求价值的最大值）

01背包问题

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品只能选一个，求总体积不超过m的最大价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
8

二维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

恰好是j

​ 从前i个物品中选，且总体积恰好是j，

01背包问题

求价值最小值

​ 初始化f[0][0] = 0, 其余是INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品只能选一个，求总体积恰好是j的最小价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
7

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = min(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

求价值最大值

初始化f[0][0] = 0, 其余是-INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品只能选一个，求总体积恰好是j的最大价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
8

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

完全背包问题

求价值最小值

​ 初始化f[0][0] = 0, 其余是INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品可以选无数多个，求总体积恰好是j的最小价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
7

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = min(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

求价值最大值

​ 初始化f[0][0] = 0, 其余是-INF

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品可以选无数多个，求总体积恰好是j的最大价值

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
10

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v;j <= m;j ++)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

至少是j

从前i个物品中选，且总体积至少是j，初始化是f[0][0] = 0, 其余是INF（只会求价值的最小值）

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积和对应的价值，每个物品可以选无数多个，求总体积至少是j的最小价值（AcWing 1020. 潜水员 ）

输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出
10

二维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][max(0, j - v)] + w);//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[i - 1][0]
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(f, INF, sizeof f);
    f[0] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= 0;j --)
        {
            f[j] = min(f[j], f[max(0, j - v)] + w);//即使物品体积比j大，j - v < 0，也能选，等价于f[0]
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}