背景

来自一个实验

十八世纪中叶，一位英国法官约翰·威尔逊爵士，发现了数论中一种极为罕见的关系：取从1到某个质数所有连续正整数的乘积，例如从1乘到11，即11的阶乘11！。显然，11！能被从1到11的所有整数整除，除去11这个数，得10！。无疑10！不能被11整除。
然而，如果给10！加上1的话，$1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＋1＝3628801$，怎么也不会想到，3628801却能被11整除$(3628801÷11＝329891)$。类似地，从1到质数7的阶乘7！中略去7，再加上1，得$1×2×3×4×5×6＋1＝721$，721也能被7整除 $721÷7＝103$

威尔逊定理：

当p为质数时，(p－1)!＋1能被p整除。

威尔逊定理逆定理：

若一个数 (p－1)!＋1 能被 p 整除，那么 p 为质数

计算机数论中的威尔逊定理常用形式

1、当p是质数时：$(p−1)!\equiv −1\pmod p$
2、当p是质数时：$(p-2)!\equiv 1 \pmod p$

证明

1、证明逆元等于自身的数只有1和-1

$1\cdot 1 \equiv 1 \pmod p,(-1)\cdot (-1) \equiv 1 \pmod p$，有且仅有这两组的逆元与本身相等。
证明：设$x^2 \equiv 1 \pmod p$，那么$x^2 − 1 \equiv 0 \pmod p$，因式分解一下，$( x + 1 ) ( x − 1 ) \equiv 0 \pmod p$，所以x=1或-1。

2、证明$2…p-2$中必然存在2个数互为逆元，即$(p-2)! \equiv 1 \pmod p$

然后除了这两个数之外，$2…p-2$中的每一个数一定有一个对应的逆元，一定不与自己相等，这一点上面证过了，而且如果把取逆元看做一个映射，这就是个双射。$a \cdot a^{−1} \equiv 1 \pmod p$ 那么 $a^{−1} \cdot a \equiv 1 \pmod p$，所以 $a = ( a^{−1} )^{−1} \pmod p$，即这两个数互为逆元。

如果p是2，结论显然成立，如果p>2，那么p一定是个奇数，所以 $2…p-2$ 中恰好有偶数个数，且他们两两配对后的乘积模p都是等于1的，再乘上一个1，再乘上个 $p-1$ ,即-1，所以$( p − 1 ) ! ≡ − 1 \pmod p$，当然前提是p是质数。