一、单点修改、区间查询

例: 已知一个数列，有两种操作:
1、将某一个数加上x
2、求出某区间每一个数的和

P3374 【模板】树状数组 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 5e5 + 10;
int tr[N], a[N];
int n, tt;

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
        tr[i] += c;
    }
}

LL sum(int x) {
    LL res = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
        res += tr[i];
    }

    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> tt;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i]);
    }

    while(tt --) {
        int op;
        cin >> op;

        if(op == 1) {
            int x, k;
            cin >> x >> k;
            add(x, k);

        } else {
            int l, r;
            cin >> l >> r;

            cout << sum(r) - sum(l - 1) << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

二、区间修改、单点查询

例: 已知一个数列，有两种操作:
1、将某区间每一个数加上x
2、求出某一个数的值

P3368 【模板】树状数组 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 5e5 + 10;
int tr[N], a[N];
int n, tt;

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
        tr[i] += c;
    }
}

LL sum(int x) {
    LL res = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
        res += tr[i];
    }

    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> tt;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i] - a[i - 1]);
    }

    while(tt --) {
        int op;
        cin >> op;

        if(op == 1) {
            int l, r, x;
            cin >> l >> r >> x;

            add(l, x);
            add(r + 1, -x);
        } else {
            int x;
            cin >> x;

            cout << sum(x) << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

三、区间修改、区间查询(需要额外的辅助数组)

例: 已知一个数列，有两种操作:
1、将某区间每一个数加上x
2、求出某区间每一个数的和

P3372 【模板】线段树 1

计算推导

b$_1$ = a$_1$
b$_2$ = a$_2$ - a$_1$
…
b$_n$ = a$_n$ - a$_{n-1}$

数组a的前缀和: S = a$_1$ + a$_2$ + … + a$_n$

a$_0$ = 0
a$_1$ = b$_1$
a$_2$ = b$_1$ + b$_2$
a$_3$ = b$_1$ + b$_2$ + b$_3$
…
a$_n$ = b$_1$ + b$_2$ + b$_3$ + … + b$_n$

S = $\sum_1^n$a$_i$ = (n + 1) * (b$_1$ + b$_2$ + … + b$_n$) - (1 * b$_1$ + 2 * b$_2$ + … + n * b$_n$)
即S = (n + 1) * $\sum_1^n$b$_i$ - $\sum_1^n$i * b$_i$

可用tr1维护bi的前缀和，tr2维护i * bi的前缀和
则在代码中S可表示为(x + 1) * sum(tr1, x) - sum(tr2, x)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;
LL a[N], tr1[N], tr2[N];
int n, tt;

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(LL tr[], int x, LL c) {
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
        tr[i] += c;
    }
}

LL sum(LL tr[], int x) {
    LL res = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
        res += tr[i];
    }

    return res;
}

LL presum(LL x) {
    return (x + 1) * sum(tr1, x) - sum(tr2, x);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> tt;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        LL u = a[i] - a[i - 1];

        add(tr1, i, u);
        add(tr2, i, (LL) i * u);
    }

    while(tt --) {
        int op;
        cin >> op;

        if(op == 2) {
            int l, r;
            cin >> l >> r;

            cout << presum(r) - presum(l - 1) << '\n';
        } else {
            int l, r, c;
            cin >> l >> r >> c;

            add(tr1, l, c);
            add(tr1, r + 1, -c);

            add(tr2, l, l * c);
            add(tr2, r + 1, (r + 1) * -c);
        }
    }

    return 0;
}