康托展开：

X=an(n-1)!+an-1(n-2)!+…+ai(i-1)!+…+a21!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

应用实例：

{1,2,3,4,…,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有22!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有11!=1 所以小于32

的{1,2,3}排列数有22!+11!=5个。所以321是第6个大的数。22!+11!是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，03!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，12! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，01!，所以比1324小的排列有03!+12!+01!=2个，1324是第三个大数。

先做一下预处理

void init() {
    fact[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= 9; ++i) fact[i] = fact[i - 1] * i;
    // 递推求阶乘
}
// 或者直接打表
int fact[10] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};

主要代码

int cantor( ) {
    int res = 0;
    for(int i = 0;i < n; ++i) {
        int cnt = 0;
        for(int j = i + 1;j < n; ++j) if(s[j] <s[i]) cnt ++;
        // 找到s[i]是当前数列中未出现的数中第几小的
        // 从1开始，即1-n的全排列
        // 从0开始，就变成了0-n的全排列
        res += cnt * fact[n - i - 1]; 
    }
    return res + 1;//返回排名
     return res// 返回哈希表
}

托展开的逆运算：

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1

所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

/*  康托展开的逆运算.
    {1...n}的全排列，中的第k个数为s[]  */
void invKT(int n, int k, int s[])
{
    int i, j, t, vst[8]={0};
    k--;
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        t = k/fact[n-i-1];
        for (j=1; j<=n; j++)
            if (!vst[j])
            {
                if (t == 0) break;
                t--;
            }
        s[i] = j;
        vst[j] = 1;
        k %= fact[n-i-1];
    }
}