集合转化: $f[i][j]$ 表示考虑前$i$个物品,体积恰好是$j$的方案数

求方案数

01背包: 数字组合

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    f[0] = 1;
    // 什么数都不选是一种方案
    while (n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for (int i = m; i >= x; i --)
            f[i] += f[i - x];
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}

完全背包: 买书

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int v[4] = {10, 20, 50, 100};
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;

    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i < 4; i ++)
        for (int j = v[i]; j <= n; j ++)
            f[j] += f[j - v[i]];

    cout << f[n];
    return 0;
}

背包问题求方案数

思路:$f[j]$表示体积恰好为$j$时的最大价值,每一步转移的时候记录一下方案数即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n, m;
int f[N], g[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    // 因为f[i]表示的是体积恰好为i时的最大价值,所以要初始化为负无穷
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    g[0] = 1; // 方案数

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j --)
        {
            int maxv = max(f[j], f[j - v] + w);
            int s = 0;
            if (maxv == f[j]) s = g[j]; // 如果可以由f[j]转移而来
            if (maxv == f[j - v] + w) s = (s + g[j - v]) % mod; // 如果可以由f[j - v] + w转移而来
            f[j] = maxv, g[j] = s;
        }
    }
    // 因为集合表示的是恰好体积为i时的最大价值,所以f[m]并不一定是最大值,需要全部遍历一遍
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
        if (f[i] > f[res])
            res = i;

    int s = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i ++) // 这里要从0开始是因为如果一个物品都不能装的话,什么不装也是一种方案
        if (f[i] == f[res]) 
            s = (s + g[i]) % mod;

    cout << s;
    return 0;
}

求方案

模型:

1. 不能用一维优化.

2. 求方案时从后往前看当前状态是由选 $or$ 不选前一个物品的转移过来的

机器分配

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 16;

int n, m;
int f[N][N], way[N];
int w[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> w[i][j];

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = m; j >= 0; j --)
            for (int k = 0; k <= j; k ++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k] + w[i][k]);

    cout << f[n][m] << endl;

    int j = m;
    for (int i = n; i >= 1; i --)
        for (int k = 0; k <= j; k ++)
            if (f[i][j] == f[i - 1][j - k] + w[i][k]) // 如果当前状态是前一个状态转移过来的
            {
                j -= k;
                way[i] = k;
                break;
            }
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        printf ("%d %d\n", i, way[i]);
    return 0;
}

背包问题求具体方案

思路:因为这题是要输出字典序最小的方案,则我们从后往前遍历物品做$01$背包

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = n; i >= 1; i --)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            // 如果两重循环的话, 则先要让第i维由上一维转移过来
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    int j = m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        // 第一个条件易漏: j只有大于v[i], 这个物品才能被选
        if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i])
        {
            j -= v[i];
            printf ("%d ", i);
        }
    return 0;
}