$定理$

$(p-1)! \bmod p = \left\{\begin{array}{r} & p-1 \qquad p\ is\ prime \\ & 2 \qquad\qquad\ \ \ \ p = 4 \\ & 0 \qquad\qquad\ \ Other. \\ \end{array}\right.$

$证明$

• 若 $p$ 为素数，那么对于 $a \in [2, p - 2]$，都可以找到一个 $a’ \ne a$ 使得 $aa’ \equiv 1 \pmod p$，所以 $(p-1)!\equiv 1 \times (p-1) \equiv p-1 \pmod p$。

• 若 $p$ 可以表示为一个素数的平方，即 $p = k^2$，则除了 $p = 4$ 的情况，都满足 $2k \leq p - 1$，所以 $(p-1)! \equiv 0 \pmod p$；在 $p=4$ 的情况，容易得到 $(p-1)!\bmod p = 2$。

• 否则 $p$ 可以表示为两个不同的大于 $1$ 的正整数相乘，$p = a \times b, 1 < a < b < p$，$(p-1)! \equiv 1 \times \cdots \times a \times \cdots \times b \times \cdots \times (p-1) \equiv 0 \pmod p$。

$$\large \mathfrak{END}$$