1、01背包问题

这里还是要老生常谈一下，我们一定要明确每个状态定义，f [ j ]表示容量不超过 j 所能带走的最大价值。因此 f 初始化的值均为0。

朴素版本

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        //这里记得写在外面，因为不一定每次都会有j>=v[i]但一定有f[i][j]=f[i-1][j]
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }
}

01背包价值从大到小遍历

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=m;j>=v;j--){
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

2、完全背包问题

完全背包问题的状态定义与上题一致，f [ j ]表示容量不超过 j 所能带走的最大价值。因此 f 初始化的值均为0

朴素版本：

//由于三层循环复杂度过高，因此常常需要进行简化
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
            //这里k=0就代表了不选择j这个物品
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
        }
    }
}

完全背包第二维价值从小到大枚举

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=v;j<=m;j++){
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

3、多重背包问题

本题中我们使用朴素做法进行求解，f [ i ][ j ]表示前 i 个物品中，容量不超过 j 所能带走的最大价值，注意当n，v，w范围变大时，朴素做法可能会超时。

之前的题可能没注意，我们每次 i 的下标从1开始，j 的下标从0开始，本题用于计数的 k 同样也是从0开始（0代表一个都不拿）

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N];
int v[N],w[N],s[N];
int n,m;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            for(int k=0;k<=s[i];k++){
                if(j>=k*v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }

    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

4、分组背包问题

这里我们介绍朴素和非朴素两种写法，朴素写法中f [ i ][ j ]表示从前 i 组中选，体积不超过 j 所能带走的最大价值

记得要记录每组元素个数

朴素版本：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N],v[N][N],w[N][N];
int s[N];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    //i表示第i组
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        for(int j=1;j<=s[i];j++){
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            //k=0表示第i组我一个不要
            for(int k=0;k<=s[i];k++){
                if(j>=v[i][k]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

类似01背包问题节省掉一维空间

体积是从大到小枚举，与01背包类似

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N];
int v[N][N],w[N][N],s[N];
int n,m;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        for(int j=1;j<=s[i];j++){
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=1;j--){
            for(int k=1;k<=s[i];k++){
                if(j>=v[i][k]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
            }
        }
    }

    cout<<f[m];
    return 0;
}

5、二维背包问题

与一维背包相比，多了一个限制条件，即状态表示多了一维，f[ i ][ j ][ k ]：表示前i个物品，体积不超过j，重量不超过k所能获得的最大价值

朴素写法：

//三维循环，类似01背包
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m1;j++){
        for(int k=0;k<=m2;k++){
            f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
            if(j>=v[i] && k>=m[i]) f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
        }
    }
}

我们可以发现整道题思路都与01背包类似，因此优化方法也相似

同样省略表示物品顺序的第一维，另外两个维度的体积和重量都是从大到小开始枚举

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N];
int n,m1,m2;

int main(){
    cin>>n>>m1>>m2;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,m,w;
        cin>>v>>m>>w;
        for(int j=m1;j>=v;j--){
            for(int k=m2;k>=m;k--){
                f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v][k-m]+w);
            }
        }
    }
    cout<<f[m1][m2];
    return 0;
}

6、背包问题求具体方案

7、背包问题求方案数