证明
m,n,x∈Z+,m<⌈nx⌉⟺mx<n
若 x∣n,显然成立,以下证明 x∤ 时也成立。
充分性
\begin{aligned} & mx < n \\\ \Rightarrow\ & m < \frac{n}{x} \le \lceil \frac{n}{x} \rceil \\\ \Rightarrow\ & m < \lceil \frac{n}{x} \rceil \end{aligned}
必要性
令
n = kx + r,\ k \in \mathbb{Z},\ 0 < r < x
则
\begin{aligned} & m < \lceil \frac{n}{x} \rceil, m \in \mathbb{Z}^+ \\\ \Rightarrow\ & m \le \lceil \frac{n}{x} \rceil - 1 = k + 1 - 1 = k \\\ \Rightarrow\ & mx \le kx < n \\\ \Rightarrow\ & mx < n \end{aligned}
另见 下取整不等式的一个性质。