证明

$$ m,n,x \in \mathbb{Z}^+, m < \lceil \frac{n}{x} \rceil \iff mx < n $$

若 $x \mid n$，显然成立，以下证明 $x \not \mid n$ 时也成立。

充分性

$$ \begin{aligned} & mx < n \\\ \Rightarrow\ & m < \frac{n}{x} \le \lceil \frac{n}{x} \rceil \\\ \Rightarrow\ & m < \lceil \frac{n}{x} \rceil \end{aligned} $$

必要性

令

$$n = kx + r,\ k \in \mathbb{Z},\ 0 < r < x$$

则

$$ \begin{aligned} & m < \lceil \frac{n}{x} \rceil, m \in \mathbb{Z}^+ \\\ \Rightarrow\ & m \le \lceil \frac{n}{x} \rceil - 1 = k + 1 - 1 = k \\\ \Rightarrow\ & mx \le kx < n \\\ \Rightarrow\ & mx < n \end{aligned} $$

另见 下取整不等式的一个性质。