在数学中，对于任意整数 $ n $、正整数 $ a $ 和 $ b $，我们需要确定下取整操作是否满足以下等式：

$ \left\lfloor \frac{n}{ab} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor}{b} \right\rfloor $

要验证这个等式是否成立，我们需要考虑不同情况并进行一些推导。

1. 左边的表达式：
   $ \left\lfloor \frac{n}{ab} \right\rfloor $
   这个表达式表示将 $ n $ 除以 $ ab $ 然后对结果进行下取整。

2. 右边的表达式：
   $ \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor}{b} \right\rfloor $
   这个表达式首先将 $ n $ 除以 $ a $ 并对结果下取整，然后将所得的结果再除以 $ b $ 并对其下取整。

为了直观理解，我们考虑一些例子：

例子 1

假设 $ n = 25 $、$ a = 4 $、$ b = 3 $：

• 左边：
  $ \left\lfloor \frac{25}{4 \times 3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{25}{12} \right\rfloor = \left\lfloor 2.0833 \right\rfloor = 2 $

• 右边：
  $ \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{25}{4} \right\rfloor}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor 6.25 \right\rfloor}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{6}{3} \right\rfloor = \left\lfloor 2 \right\rfloor = 2 $

在这个例子中，等式成立。

例子 2

假设 $ n = 25 $、$ a = 6 $、$ b = 2 $：

• 左边：
  $ \left\lfloor \frac{25}{6 \times 2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{25}{12} \right\rfloor = \left\lfloor 2.0833 \right\rfloor = 2 $

• 右边：
  $ \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{25}{6} \right\rfloor}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor 4.1667 \right\rfloor}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{4}{2} \right\rfloor = \left\lfloor 2 \right\rfloor = 2 $

在这个例子中，等式也成立。

一般情况分析

我们考虑一般情况，即 $ n = k \cdot ab + r $，其中 $ 0 \leq r < ab $。

对于左边的表达式：
$ \left\lfloor \frac{n}{ab} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{k \cdot ab + r}{ab} \right\rfloor = \left\lfloor k + \frac{r}{ab} \right\rfloor = k $
因为 $ 0 \leq \frac{r}{ab} < 1 $，所以下取整之后为 $ k $。

对于右边的表达式：
$ \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor}{b} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{k \cdot ab + r}{a} \right\rfloor}{b} \right\rfloor $
注意 $ \frac{k \cdot ab + r}{a} = k \cdot b + \frac{r}{a} $，下取整：
$ \left\lfloor k \cdot b + \frac{r}{a} \right\rfloor $
因为 $ 0 \leq \frac{r}{a} < b $，所以下取整之后的结果为 $ k \cdot b + \left\lfloor \frac{r}{a} \right\rfloor $。

接下来，除以 $ b $ 并下取整：
$ \left\lfloor \frac{k \cdot b + \left\lfloor \frac{r}{a} \right\rfloor}{b} \right\rfloor = \left\lfloor k + \frac{\left\lfloor \frac{r}{a} \right\rfloor}{b} \right\rfloor $
因为 $ 0 \leq \left\lfloor \frac{r}{a} \right\rfloor < b $，所以 $ 0 \leq \frac{\left\lfloor \frac{r}{a} \right\rfloor}{b} < 1 $，下取整之后为 $ k $。

因此，对于任意整数 $ n $ 和正整数 $ a $、$ b $，可以证明：
$ \left\lfloor \frac{n}{ab} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor}{b} \right\rfloor $

这个等式成立。