设已知函数 $f(x)$，需要将其表示为

$$g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i$$

先只考虑在 $x=0$ 处展开的情况，因为其他情况可将函数平移转化得到。

那么依次考虑 $a_i$ 的求法。

我们规定 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $n$ 阶导函数（求 $n$ 次导），则

$$g^{(n)}(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(i+n)!\times a_{i+n}x^i$$

则 $g^{(n)}(0)=n!\times a_n$，又因为 $f(x)=g(x)$，所以 $f^{(n)}(0)=g^{(n)}(0)$，即 $n!\times a_n=f^{(n)}(0)$，而等式右边又是已知的，则 $a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$，我们就可以依次求出所有的 $a_i$。

再考虑在 $x=x_0$ 处展开：

$$g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$$