背包问题思路解决最少硬币找零系列问题。

01硬币找零问题（01背包）

给定不同面额的硬币 coins 和总金额 m。每个硬币最多选择一次。计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

状态表示

• f[i][j]表示只看前 i 个物品，总价值是j 的情况下的最小硬币数目。

状态转移

• f[i, j] = min(f[i-1, j], f[i-1, j-ci] + 1) 分别对应了不拿和拿第 i 个硬币两种情况。

• 因为 f[i, j] 之和上一层的两个状态有关，所以可以将状态优化为一维数组。

  f[j] = min(f[j], f[j-ci] + 1)，

  因为 j-ci < j，所以如果从小到大枚举金额的话，j-c[i] 已经变成了当前层的状态。

  所以这一步可以从大到小枚举金额。

边界情况

• f[i, 0] = 0 表示凑出金额为0的最小个数是0个。

• 初始化，因为题目要求的是恰好凑到金额m，所以状态要初始化为 inf。

def coinChange(coins, m):
    f = [float('inf')] * (m + 1)
    f[0] = 0
    for c in coins:  # 枚举硬币种数
        for j in range(m, c-1, -1):  # 从小到大枚举金额，确保j-c > 0.
            f[j] = min(f[j], f[j - c] + 1)
    return f[m] if f[m] != float('inf') else -1  # 如果为inf说明状态不可达，返回-1即可。

完全硬币找零问题（完全背包）

给定不同面额的硬币 coins 和总金额 m。每个硬币可以选择无数次。计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

状态表示

• f[i][j]为考虑前 i 种硬币，凑出金额为 j 的最少数目。

状态转移

• 考第 i 种硬币，我们可以不拿，或者拿 1...k 个，直到把金额拿爆。

• f[i][j] = min(f[i-1]f[j], f[i-1][j-c]+1, f[i-1][j-2*c]+2, ..., f[i-1][j-k*c]+k)

• 又因为其中包含了大量的冗余计算

  例如：f[i][j-c] = min(f[i-1][j-c], f[i-1][j-2*c]+2, ..., f[i-1][j-k*c]+k)

• 两者合并得到：f[i][j] = min(f[i-1]f[j], f[i][j-c]+1)

又因为f[i][j]只和上一层一个状态 (f[i-1]f[j]) 和这一层的一个状态 (f[i][j-c]+1) 有关。可以将状态优化为一维数组。

• f[j] = min(f[j], f[j-c]+1)

因为金额从小到大枚举，j-c < j，所以计算 j 时， j-c 的状态已经在这一层计算好了，可以直接替换。这里与01背包问题相反。

边界情况

• f[0] = 0 表示金额为0时，最小硬币凑法为0
• 其余要初始化为inf，因为此题要求的是恰好金额为m时的最小硬币数，所以有些状态可能达不到。

class Solution:
    def coinChange(self, coins, m):
        f = [float('inf')]*(m+1)
        f[0] = 0
        for c in coins:  # 枚举硬币总数
            for j in range(c, m+1):  # 这里直接从c开始枚举即可，确保j-c > 0.
                    f[j] = min(f[j], f[j - c] + 1)
        return f[m] if f[m] != float('inf') else -1  # 如果为inf说明状态不可达，返回-1即可。

可以看到，此题解法与01问题解法几乎完全相同！！！只是枚举金额时变为由小到大了。

多重硬币找零问题（多重背包）

给定不同面额的硬币 coins 和总金额 m。每个硬币可以选择无数次。计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

状态表示

• 这里和完全硬币问题的的初始状态表态表示很相似。
• 考第i种硬币，我们可以不拿，或者拿1…k个，直到拿到个数的限制。
• f[i][j] = min(f[i-1]f[j], f[i-1][j-c]+1, f[i-1][j-2*c]+2, ..., f[i-1][j-k*c]+k)

所以在01问题的代码的基础上添加一层枚举硬币个数的循环即可

也可以使用二进制优化，转化为01背包问题求解。这里不扩展了。

def coinChange(coins, m, s):
    f = [float('inf')] * (m + 1)
    f[0] = 0
    for i in range(len(coins)):
        for j in range(m, coins[i]-1, -1):
            for k in range(1, s[i]+1):  # 枚举每个硬币的个数
                if j >= k*coins[i]:  # 确保不超过金额
                    f[j] = min(f[j], f[j - k*coins[i]] + k)
    return f[m] if f[m] != float('inf') else -1