前言:今天刷题时遇到了树链剖分的题目所以…就学了树链剖分(点个赞吧❤️)

树链剖分

定义:

一种思想

1. 将一颗树转换成一个序列

2. 把一棵树中任意一条路径转换成不超过logn 段连续区间

概念:

1. 重儿子和轻儿子

先计算出每个节点的子树的节点总数

void dfs(int u, int p)
{
    s[u] = 1;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];

        if (j != p)
        {
            dfs(j, u);

            s[u] += s[j];
        }
    }
}

若当前节点为u, 左儿子为l, 右儿子为r, 若s[l] > s[r]则l为重儿子, r为轻儿子(特别的根节点是轻儿子)

2. 重边, 轻边: 重儿子和它的父亲节点之间的边就是重边, 同理轻儿子和它的父亲节点之间的边就是轻边.

3. 重链:

由重边构成的路径被称为重链

每个点都要在一个重链里, 若当前这个点不直接在一个重链里, 找以这个点开头往下走的第一个重链里, 特别的下面没有重链的节点单独为一个重链

性质:

树中任意一条路径均可拆分成logn条重链, 即可拆分成logn个连续区间

重链的开头一定是一个轻儿子

操作:

主要用dfs序把树(优先遍历重儿子)转换成一个序列

为什么要优先遍历重儿子呢? 这样可以保证重链上所有点的编号都是连续的

模版题

// Problem: 树链剖分
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/2570/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;
ll w[N], nw[N];
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int id[N], timestamp;
int dep[N], s[N];
int top[N];
int fa[N], son[N];
int n, m;

struct Segment
{
    int l, r;
    ll add, sum;
} tr[N << 2];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void dfs1(int u, int p, int depth)
{
    s[u] = 1;

    dep[u] = depth;
    fa[u] = p;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];

        if (j != p)
        {
            dfs1(j, u, depth + 1);

            s[u] += s[j];

            if (s[son[u]] < s[j]) son[u] = j;
        }
    }
}

void dfs2(int u, int t)
{
    id[u] = ++timestamp;
    nw[timestamp] = w[u];
    top[u] = t;

    if (!son[u]) return;

    dfs2(son[u], t);

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];

        if (j != fa[u] && j != son[u]) dfs2(j, j);
    }
}

void pushup(int u)
{
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}

void pushdown(int u)
{
    auto &root = tr[u], &left = tr[u << 1], &right = tr[u << 1 | 1];

    if (root.add)
    {
        left.add += root.add, left.sum += root.add * (left.r - left.l + 1);
        right.add += root.add, right.sum += root.add * (right.r - right.l + 1);
        root.add = 0;
    }
}

void build(int u, int l, int r)
{
    tr[u] = {l, r, 0, nw[r]};

    if (l == r) return;

    int mid = l + r >> 1;

    build(u << 1, l, mid);
    build(u << 1 | 1, mid + 1, r);

    pushup(u);
}

void update(int u, int l, int r, int k)
{
    if (l <= tr[u].l && r >= tr[u].r)
    {
        tr[u].add += k;
        tr[u].sum += k * (tr[u].r - tr[u].l + 1);
        return;
    }

    pushdown(u);

    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;

    if (l <= mid) update(u << 1, l, r, k);
    if (r > mid) update(u << 1 | 1, l, r, k);

    pushup(u);
}

ll query(int u, int l, int r)
{
    if (l <= tr[u].l && r >= tr[u].r) return tr[u].sum;

    pushdown(u);

    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;

    ll res = 0;
    if (l <= mid) res += query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) res += query(u << 1 | 1, l, r);

    return res;
}

void update_path(int u, int v, int k)
{
    while (top[u] != top[v])
    {
        if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);

        update(1, id[top[u]], id[u], k);

        u = fa[top[u]];
    }

    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);

    update(1, id[v], id[u], k);
}

ll query_path(int u, int v)
{
    ll res = 0;
    while (top[u] != top[v])
    {
        if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);

        res += query(1, id[top[u]], id[u]);

        u = fa[top[u]];
    }

    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);

    res += query(1, id[v], id[u]);

    return res;
}

void update_tree(int u, int k)
{
    update(1, id[u], id[u] + s[u] - 1, k);
}

ll query_tree(int u)
{
    return query(1, id[u], id[u] + s[u] - 1);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];

    memset(h, -1, sizeof h);

    int a, b;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> a >> b;

        add(a, b);
        add(b, a);
    }

    dfs1(1, 0, 1);
    dfs2(1, 1);

    build(1, 1, n);

    cin >> m;

    int t, u, v, k;
    while (m--)
    {
        cin >> t >> u;

        if (t == 1)
        {
            cin >> v >> k;

            update_path(u, v, k);
        }
        else if (t == 2)
        {
            cin >> k;

            update_tree(u, k);
        }
        else if (t == 3)
        {
            cin >> v;

            cout << query_path(u, v) << '\n';
        }
        else cout << query_tree(u) << '\n';
    }


    return 0;
}