关于px+py不能表示的最大数为pq-q-p的证明

对于互质的两个数p,q,px+qy不能表示的最大数为pq-q-p

先证pq-q-p不能被px+qy表示
假设pq-q-p可以被px+qy表示
那么，px+qy=pq-p-q
    p(x+1) + q(y + 1) = pq
        q|x+1    p|y+1
        很明显 x + 1 >= q
            p(x+1) >= pq矛盾
再证大于pq-p-q的数一定可以用px+qy表示(x>=0,y>=0)
    (p - 1)(q - 1) = pq - q - p + 1
        对于n>pq - q - p 即n>=(q-1)(p-1)
            gcd(p,q) = 1
                对于z = min{p,q},存在a,b使得ap + bq = z
                不妨设a>0>b,显然a>0
                a > q,即a1 = a - q,b1 = b + p
                a1 * p + b1 * q = z
            如果a1>q
                Ap+Bq=z,0<abs(A)<q,0<abs(B)<p
                pq - p - q = (p - 1)q - q = (q - 1)p - p
                对于n>pq-q-p
                    n = pq-q-p+k*min{q,p}+r r<z<min{q,p}
                那么取A，B  Ap+Bq=r  0<abs(A)<q,0<abs(B)<p
        不妨设A>0
            n = (A-1)p+(B+q-1)p+k*min{q,p}
            那么无论min{q,p}是q还是p，都有对于n>pq - q - p，都可以表示成px+qy