https://codeforces.com/contest/2004/problem/E

定理 1：没有后继状态的状态是必败状态。
定理 2：一个状态是必胜状态当且仅当存在至少一个必败状态为它的后继状态。
定理 3：一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继状态均为必胜状态。

对个有向图游戏：状态 x 和它的所有 k 个后继状态$ y_1, y_2, \ldots, y_k，$定义 $\operatorname{SG} $函数：
$$\operatorname{SG}(x)=\operatorname{mex}\{\operatorname{SG}(y_1), \operatorname{SG}(y_2), \ldots, \operatorname{SG}(y_k)\}$$
而对于由 n 个有向图游戏组成的组合游戏，设它们的起点分别为 $s_1, s_2, \ldots, s_n$，则有定理：当且仅当 $$\operatorname{SG}(s_1) \oplus \operatorname{SG}(s_2) \oplus \ldots \oplus \operatorname{SG}(s_n) \neq 0$$ 时，这个游戏是先手必胜的。同时，这是这一个组合游戏的游戏状态 x 的 SG 值。

打表->找规律->偶数位置sg[x] = 0
sg[x] = sg[x的最小质因子] = x的最小质因子是第几个质数。

ps.打表方法：对$i，sg[i] = mex\{i-j\}(gcd(i,j)==1$

证明以后补，，