这东西看上去很难，但实际上一点都不简单。

导数

对于一个函数 $f(x)$，它的导数是关于过函数上每个点切线的斜率的函数，记为 $f’(x)$。
过一个点的切线斜率怎么求？考虑不断缩小 $\Delta$ 来无限趋近于这个真实值。

$$f’(x) = \lim\limits_{\Delta \to 0} \frac{ f(x+\Delta) - f(x) }{ \Delta }$$

例如，$f(x) = x^2$ 的导数为：

$$f’(x) = \lim\limits_{\Delta \to 0} \frac{ (x+\Delta)^2 - x^2 }{ \Delta } = \lim\limits_{\Delta \to 0} \frac{ 2x\Delta + \Delta ^2 }{ \Delta } = \lim\limits_{\Delta \to 0} 2x + \Delta = 2x$$

那么我们试着求一下 $f(x) = x^n$ 的导数：

$$f’(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ (x + \Delta x)^n - x^n }{ \Delta x }$$

展开 $n$ 次方，得：

$$= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ ( x^n + C_n^1 x^{n-1} \Delta x + C_n^2 x^{n-2} \Delta x ^2 + \dots + C_{n}^n \Delta x^n ) - x^n }{ \Delta x }$$

消掉 $x^n$，并消掉上下的 $\Delta x$ 得：

$$= \lim\limits_{\Delta x \to 0} C_n^1 x^{n-1} + C_n^2 x^{n-2} \Delta x + \dots + C_{n}^n \Delta x^{n-1}$$

由于 $\Delta x \to 0$，所以可以把后面的项全部消掉，又因为 $C_n^1=n$，所以：

$$f’(x) = n x^{n-1}$$

这就是幂函数求导公式。

然后考虑求出 $\frac{1}{x}$ 的导数？
这东西显然可以变成 $x^{-1}$，再套公式得到 $-1x^{-2}$。
但有方法可以直接推出来。即在反比例函数上作一个类似于上面幂函数的过程。
考虑一个点从上往下滑，它会减去左上的面积，加上右下的面积，这两处面积相等。
则有：$-d(\frac{1}{x})x = dx \frac{1}{x}$，移项得到 $\frac{ d(\frac{1}{x}) }{dx} = - \frac{1}{x^2} = -1x^{-2}$。

另外试试看 $\sin(x)$ 的导数？
手画图像会发现它长得很像 $cos(x)$，但实际上它就是。
考虑在单位圆上有一个点 $P$ 从 $(1,0)$ 往上走，设当前 $PO$ 与 $x$ 轴夹角是 $\theta$，然后过 $P$ 点作垂直于 $x$ 的直线，交 $x$ 轴于 $Q$ 点，构成一个直角三角形 $POQ$。
由于步长 $\Delta \theta$ 无限趋近于 $0$，可以近似看成是一条直线而不是圆弧的一部分，然后作一个直角三角形。
显然根据四垂直可以得出两个直角三角形相似。
因此我们要求的是 $\frac{ d(\Delta \theta) }{\Delta \theta}$，即 $\frac{OP}{OQ}$。
这是什么？这就是 $\cos(\theta)$ 的定义，邻边比斜边！于是就证完了。

导数法则

加法法则

可视化方法：坐标轴。
两个函数的和的导数，就是这两个函数导数的和。

$$(f(x) + g(x))’ = \frac{f(x + \Delta) - f(x) + g(x + \Delta) - g(x)}{\Delta} = \frac{f(x + \Delta) - f(x)}{\Delta} + \frac{g(x + \Delta) - g(x)}{\Delta} = f’(x) + g’(x)$$

乘法法则

可视化方法：面积。
函数乘常数的导数，就是函数的导数乘常数。

令 $g(x) = k \times f(x)$：
$$g’(x) = \frac{k \times f(x + \Delta) - k \times f(x)}{\Delta} = k \times \frac{f(x + \Delta) - f(x)}{\Delta} = k \times f’(x)$$

两函数相乘的导数：左乘右导 加 右乘左导。

$$(f(x) \times g(x))’ = \frac{f(x + \Delta)g(x + \Delta) - f(x)g(x)}{\Delta} = \frac{f(x + \Delta)g(x + \Delta) + f(x)g(x + \Delta) - f(x)g(x + \Delta) - f(x)g(x)}{\Delta}$$
$$= \frac{(f(x + \Delta) - f(x)) g(x + \Delta) - f(x)(g(x + \Delta) - g(x))}{\Delta} = f(x)g’(x) + f’(x)g(x)$$

即乘积法则。

函数复合

可视化方法：数轴、滑动条。
待补证明。（即链式法则）

积分

可以理解为求和 $x$ 轴围出的面积。
定积分指的是有上下界的积分，不定积分指的是没有定义上下界的积分。

求一个函数 $f(x)$ 的积分相当于求一个函数，使得它的导数是 $f$。（微积分基本定理）
目前只会多项式函数求积分，即用上面的定理 $(x^n)’ = n x^{n-1}$ 逆推，记得最后 $+c$，因为图像可以上下平移，即钦定 $f(0)$ 的值。

有无大佬对上下平移有更好的描述方法 qwq？
解答见此处

积分公式

$$\int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x)dx$$

即定义域合并。

$$\int_a^b \{ f(x)+g(x) \}dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$$

加法是互相独立的，可以直接分成 $f$ 和 $g$ 的部分。

$$\int_a^b \alpha f(x) dx = \alpha \int_a^b f(x)dx$$

面积 $\times \alpha$，和函数 $\times \alpha$ 再求面积是一样的。