一、先给结论

$-2^{31} \sim 2^{31}-1$ ,也就是$-2147483648 \sim 2147483647$

二、计算公式推导

这涉及到数学公式的推导，我们来以简单的四位二进制进行模拟，然后再找出规律：

最大的表示值$=15$,这个$15$是怎么算出来的呢？是我们一位一位的加出来的啊！我们来换个角度看这个问题：

令
$ \ \ \ \ \ \ \ s=8+4+2+1$

变形
$① \ \ \ \ s=2^3+2^2+2^1+2^0$

关键步骤来了，等式左右都乘以2：
$② \ \ \ \ 2 * s=2 * (2^3+2^2+2^1+2^0)=2^4+2^3+2^2+2^1$

将$ ②- ① $
$ s=2^4-2^0=2^4-1$

推广到$n$位二进制数,就是 $s_n=2^{n}-1$

而$int$共4个字节，每个字节8个$bit$位，就是32个$bit$位。而首位是符号位，不能用，只有$31$位用于保存数字，所以，数据上限就是$2^{31}-1=2147483647$，而数据下限则是 $-(2^{31}-1)=-2147483647$

三、不是说最小是 $-2147483648$吗，你上边算的是$-2147483647$啊！

(1) 正整数在计算机中以原码保存

(2) 负整数在计算机中以补码保存。

啥是原码，啥是补码？ 原码是就二进制的原始形式，补码：原码除符号位之外取反后加1

$1000 \ \ 0000 |\ \ 0000\ \ 0000 | \ \ 0000\ \ 0000 | \ \ 0000\ \ 0001$ -1的原码
$1111 \ \ 1111 |\ \ 1111 \ \ 1111 | \ \ 1111\ \ 1111 | \ \ 1111 \ \ 1110$ -1的反码，再对反码加1
$1111 \ \ 1111 |\ \ 1111 \ \ 1111 | \ \ 1111 \ \ 1111 | \ \ 1111 \ \ 1111$ 这就是负数-1的补码了

那么负整数在内存中的$32$位最大可以表示为
$1111 \ \ 1111 | \ \ 1111 \ \ 1111 | \ \ 1111 \ \ 1111 |\ \ 1111 \ \ 1111$ 这个是最大负整数的原码了，也就是$-(2^{31}-1)=-2147483647$那么为什么范围是$-2147483648$开始呢？？？

$1000 \ \ 0000 |\ \ 0000\ \ 0000 |\ \ 0000 \ \ 0000 |\ \ 0000 \ \ 0001$ 这个是最大负整数对应的补码了，那么还有一种情况没有包含进去，就是当补码是全$0$的情况，也就是$-0$这种情况，在二进制中$0$可以表示为$-0$和$+0$这两种情况，但是$0$只有一个，所以取$-0$这种情况。