OGF推导 \#0
p0=0,p1=1,∀n≥2,pn=2pn−1+pn−2
其OGF
P(x)=∑i≥0pixi =∑i≥2pixi+x =2x∑i≥1pixi+x2∑i≥0pixi+x =2xP(x)+x2P(x)+x
P(x)=x1−2x−x2
1−2x−x2=(1−ϕx)(1−ˆϕx)
可得ϕ=1+√2,ˆϕ=1−√2
部分分式展开与不同根的有理展开定理
如果R(x)=P(x)Q(x),Q(x)=q0∏li=1(1−ρix),且ρ1…ρl均不相同,且P(x)是一个次数小于l的多项式,那么
[xn]R(x)=l∑i=1aiρni,ak=−ρkP(1/ρk)Q′(1/ρ)
即:
R(x)=l∑i=1ai1−ρix
Q(x)=P(x)=1−2x−x2,Q′(x)=P′(x)=−2−2x
下面的P指的是z。
[xk]R(x)=−ρP(1/ρ)Q′(1/ρ)=−1−2−2/ρ=ρ2ρ+2
因此ϕ的系数为12√2
ˆϕ的系数为−12√2
因此
pn=(1+√2)n−(1−√2)n2√2