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前缀知识 1-Trie树

字典树，也称Trie树，前缀树，主要用于存储大量的字符串以及查询操作。
对于Trie树，一般有两个操作：
- 1.insert操作，在Trie树中存储一个字符串
- 2.query操作，在Trie树中查询一个字符串

举个例子，对于这样几个字符串，{abcde，abcgf，hello，her}我们看他们在Trie树中是如何存储的：

这里需要注意，字符是边，而不是节点，但都是一一对应的

代码

int son[N][26],cnt[N],idx;  //cnt数组记录以当前节点为结尾的字符串的数目，idx为节点编号
int n;

void insert(string& s){
    int n = s.length();
    int p = 0;
    for(int i = 0; i<n; i++){
        int u = s[i]-'a';
        if(!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p] ++;
}

int query(string &s){
    int p = 0;
    int n = s.length();
    for(int i = 0; i<n; i++){
        int u = s[i] - 'a';
        if(!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}

前缀知识2 - KMP算法

对于KMP算法的介绍网上有很多优秀的博客，这里就不再赘述了。。。

在学习了Trie树和KMP算法后，我们就可以学习AC自动机了。
这里放个B站的视频链接，我觉得讲得很清楚–>轻松掌握AC自动机

AC自动机(Aho-Corasick automaton)

了解：我们知道KMP算法是解决单模式串的匹配问题的，而AC自动机是用来解决多模式串匹配问题的。

对于多模式串的存储，我们就可以用到Trie树来存储，在匹配过程中，一旦发生失配，我们应该如何处理呢？在KMP算法中，我们对模式串构建了next数组，在失配时通过next数组来加速匹配过程，那在Trie树中，我们是不是也可以通过一个数组来维护前缀和后缀的某些信息呢？

fail数组

定义：对于Trie树中当前某个节点i，若fail[i]=j表示Trie树中到j为止的字符串是到i为止的字符串的最长后缀。

一张图看懂fail数组：为了避免图片过乱，对于fail[i] = 0的点(即指向root的点)均未画出

有了这个fail数组后，我们模拟一个简单的样例，比如当前主串是uhershef

大家可以自己模仿样例在纸上画一下过程，在理解了这个过程之后，其实fail数组也就不再那么神秘了，当我们在一个分支上走不下去了之后，我们不必头铁，可以换个方向继续往下走，而fail数组的作用就是这样，当发生失配时，我们可以通过预处理出的fail数组告诉我们其他分支的信息(即满足当前字符串最长后缀的节点)，然后继续向后遍历即可。

如何求fail数组

在Trie树建好之后，我们如何给这棵树添加信息即如何预处理出fail数组，其实仔细观察第一幅图我们就可以看出来，我们可以利用前一层的信息来更新下一层的节点信息，那么我们可以用BFS来一层一层地扩展。
代码如下：

void build(){
    int hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 0; i<26; i++){
        if(tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];  //第一层的所有节点一定指向root
    }

    while(hh<=tt){
        int t = q[hh++];

        for(int i = 0; i<26; i++){
            int c = tr[t][i];
            //利用父节点的信息来更新自己的
            if(!c) tr[t][i] = tr[fail[t]][i];  //将树填充为图，这里可以通过测试样例测试一下
            else{
                fail[c] = tr[fail[t]][i];
                q[++tt] = c;
            }
        }
    }
}

强烈建议大家画个图自己模拟一遍，绝对比直接对照代码看有效！！

匹配

匹配的过程在第二张图里面已经提及到了，大致过程如下，从根节点开始匹配，如果匹配，继续跳到下一个节点，如果失配，则跳到fail指针，然后继续匹配。
对于Trie图，我的个人理解是，利用fail指针来补充trie树的信息，使其成为一个图，然后在匹配过程中，我们无需考虑fail指针，直接令j = tr[j][t]，这里其实就包括了t+'a'这个字符如果不存在时的情况，如果不存在，其实就等价于j = tr[fail[j]][t]。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e4+100, L = 55, M = 1e6+100;

char str[M],s[L];
int tr[N*L][26], cnt[N*L],idx;
int fail[N*L],q[N*L];
int t,n;

//字典树建树过程
void insert(char s[]){
    int p = 0;
    for(int i = 0; s[i]; i++){
        int t = s[i]-'a';
        if(!tr[p][t]) tr[p][t] = ++idx;
        p = tr[p][t];
    }
    cnt[p]++;
}

//宽搜预处理出fail数组以及trie子图
void build(){
    int hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 0; i<26; i++){
        if(tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];  //第一层直接入队
    }

    while(hh<=tt){
        int t = q[hh++];

        for(int i = 0; i<26; i++){
            int c = tr[t][i];
            if(!c) tr[t][i] = tr[fail[t]][i];  
            else{
                fail[c] = tr[fail[t]][i];  //利用上层信息更新现在的节点信息
                q[++tt] = c;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);

        memset(tr,0,sizeof tr);
        memset(fail,0,sizeof fail);
        memset(cnt,0,sizeof cnt);

        for(int i = 1; i<=n; i++){
            scanf("%s",s);
            insert(s);
        }

        build();

        scanf("%s",str);
        int ans = 0;
        for(int i = 0,j = 0; str[i]; i++){
            int t = str[i] - 'a'; //当前遍历到的字符
            j = tr[j][t];
            int p = j;
            while(p){
                ans += cnt[p];//更新答案
                cnt[p] = 0;  //统计出现的种类，所以清空标记
                p = fail[p];  //向上跳，不漏答案
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}