筛法求质数

朴素筛法 o( n * log n)

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;

int prime[N], cnt;
bool st[N];

//朴素筛法-O(nlogn)
void get_primes(int n) {
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!st[i]) prime[cnt++] = i;
        for(int j = i+i; j <= n; j += i) 
            st[j] = true;
    }
}

int main() {
    int x;
    cin >> x;
    get_primes(x);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

埃氏筛法 o(n * log log n)

算法思路：

​ 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，那么 合数一定是某个质数的倍数，所以筛质数的倍数就可以了。

时间复杂度分析：

​ 在数字 1 - n中质数的个数大约为 n / lnn n / lnn * logn 实际复杂度为 n * loglog n

​ loglogn 这一项是一个很小的常数 复杂度为 大约为o (n)

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;

int prime[N], cnt;
bool st[N];

//埃式筛法-O(nloglogn)  只筛质数的倍数
void get_primes(int n) {
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!st[i]){ 
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = i; j <= n; j += i)
                st[j] = true;
        }
    } 
}

int main() {
    int x;
    cin >> x;
    get_primes(x);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

线性筛法（欧拉筛法） 真正 o(n)

算法思路：该算法的核心：保证每个数字 只被最小质因子筛掉一次

​ 而埃氏筛法一个数字会被每个质因子都筛一次 所以线性筛法性能更优

​ 问题一：怎么保证只被最小质因子筛掉呢？

​ 每个数字都可以表示为几个质数相乘的形式

​ p[ j ] 代表 i 以内的质数组成的数组 而且是从小到大出现的

​ 比如 我们用 a b c d 代表从小到大排列的四个质数

​ 当 i % p[ j ] != 0, p[ j ]定小于 i 的所有质因子，所以p[ j ]也为p[ j ] * i 最小质因子

​ 例如：p[ j ] = a , i = b * c 相当于这种情况

​ 当 i % p[ j ] == 0, p[ j ]定为i最小质因子，p[ j ] 也定为p[ j ] * i 最小质因子，但是之后就不满足这个条件了

​ 例如：p[ j ] = a , i = a * b 相当于这种情况

​ 问题二：能保证筛掉所有的合数么？

​ 每个合数都可以写成 最小质因数 * i 的形式 这里我们不会有遗漏

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;

int prime[N], cnt;
bool st[N];

//线性筛法-O(n), n = 1e7的时候基本就比埃式筛法快一倍了
//算法核心：x仅会被其最小质因子筛去
void get_prime(int x) {
    for(int i = 2; i <= x; i++) {
        if(!st[i]) prime[cnt++] = i;
        for(int j = 0; prime[j] <= x / i; j++) {
            //对于任意一个合数x，假设pj为x最小质因子，当i<x/pj时，一定会被筛掉
            st[prime[j]*i] = true;
            if(i % prime[j] == 0) break;
            /*
            1.i%pj == 0, pj定为i最小质因子，pj也定为pj*i最小质因子
            2.i%pj != 0, pj定小于i的所有质因子，所以pj也为pj*i最小质因子
            */
        }
    }
} 

int main() {
    int x;
    cin >> x;
    get_primes(x);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

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