质数

数的表示： N=p1^a1 * p2^a2 * p2^a2 * p2^a2......pn^an
1.pn表示质因子
2.an表示质因子的次幂

质数的定义：对于除1和本身之外的数均不能整除的数。

试除法求质数

bool prime(int x)
{
    if(x==1) return false;
    if(x==2) return true;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        if(x%i==0) return false;
    }
    return true;
}

求质因子

void primeson(int x)
{
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        int res=0;
        if(x%i==0)
        {
            while(x%i==0)
            {
                x/=i;
                res++;
            }
             cout<<i<<' '<<res<<endl;
        }
    }
    if(x>1) cout<<x<<' '<<1<<endl;      //质因子最多有一个大于x/i
    cout<<endl;
}

筛质数

int prime[maxn];
bool check[maxn];
int idx=0;

void primecheck(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[++idx]=i;  
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
            {
                check[j]=true;
            }
        }
    }
}

约数

数的表示： N=p1^a1 * p2^a2 * p2^a2 * p2^a2......pn^an
约数的个数：(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(an+1)
约数的和： (p1^0+p2^1+…+p1^a1) (p2^0+p2^1+…+p2^a2)(p3^0+p3^1+…+p3^a3)…(pn^0+pn^1+…+pn^an)

试除法求约数

由于n%i==0 那么 n%（n/i）==0

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int t; cin>>t;
    vector<int> num;
    while(t--)
    {
        int aim; cin>>aim;
        for(int i=1;i<=aim/i;i++)
        {
            if(aim%i==0) 
            {   
                num.push_back(i);
                if(i!=aim/i) num.push_back(aim/i);
            }
        }
        sort(num.begin(),num.end());
        for(auto x:num) cout<<x<<' ';
        cout<<endl;
        num.clear();
    }
}

约数的个数

#include<iostream>
#include<unordered_map>

using namespace std;

int const mod=1e9+7;

int main()
{
    unordered_map<int,int> prime;
    int t; cin>>t;
    while(t--)
    {
        int aim; cin>>aim;
        for(int i=2;i<=aim/i;i++)
        {
            while(aim%i==0)
            {
                prime[i]++;
                aim/=i;
            }
        }
        if(aim>1) prime[aim]++;
    }
    long long res=1;
    for(auto x:prime)
    {
        res=res*(x.second+1)%mod;
    }
    cout<<res<<endl;
}

约数的和

#include<iostream>
#include<unordered_map>

using namespace std;

int const mod=1e9+7;
int main()
{
    int t; cin>>t;
    unordered_map<int,int> hash;
    while(t--)
    {
        int aim; cin>>aim;
        for(int i=2;i<=aim/i;i++)
        {
            while(aim%i==0)
            {
                hash[i]++;
                aim/=i;
            }
        }
        if(aim>1) hash[aim]++;
    }

    long long res=1;
    for(auto x: hash)
    {
        int p=x.first;
        int a=x.second;
        long long t=1;
        while(a--)
        {
            t=(t*p+1)%mod;
        }
        res=res*t%mod;
    }
    cout<<res<<endl;
}

最大公约数（辗转相除法）

int gcb(int a,int b)
{
    return b?gcb(b,a%b):a;
}