重心的定义是：
找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡

(一)
树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

(二)
把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

(三)

把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

hdu6567

/*
方法：
（1）求出树一的重心g1，求出树二的重心g2；
（2）将两个树的重心相连，得到就是总路径和最短（因为在不连通之前树一内部的dis之和已经确定，
树二内部的dis之和也已经确定，现在只要两棵树相连后得到的dis之和最短就好了，
所以只要重心相连，树一上的点到树二上的点dis之和就最小）
（3）连接两颗树之后计算最小距离和
每条边的距离贡献 = 这条边左边点数和 * 这条边右边点数和
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+10;
const int inf = 1e9+19;
vector <int> vc[N];
int n;
bool vis[N] = {false};
int countNum;
void dfs0(int rt)
{
    if(vis[rt] == true) return ;
    countNum++;
    vis[rt] = true;
    int len = vc[rt].size();
    for(int i=0;i<len;i++)
        dfs0(vc[rt][i]);
}
//记录树的重心
int g;
int miTreesize;
int dfs1(int rt,int pre,int sizeTree)
{
    int len = vc[rt].size();
    int sum = 0,mxsize = 0;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(pre == vc[rt][i]) continue;
        int tp = dfs1(vc[rt][i],rt,sizeTree);
        mxsize = max(mxsize,tp);
        sum += tp;
    }
    //这里注意是 sizeTree-1-sum ，表示自己父亲那边的子树大小
    mxsize = max(mxsize,sizeTree-1-sum);
    if(mxsize < miTreesize){
        g = rt;
        miTreesize = mxsize;
    }
    return sum + 1;
}
//记录功能最小值
ll ans;
int dfs2(int rt,int pre)
{
    int sum = 1,len = vc[rt].size();
    for(int i=0;i<len;i++){
        if(vc[rt][i] == pre) continue;
        int tp = dfs2(vc[rt][i],rt);
        //这条边对距离的贡献
        ans += (1ll*tp) * (1ll*(n-tp));
        sum += tp;
    }
    return sum;
}
int main(void)
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n-2;i++){
        int x,y;cin>>x>>y;
        vc[x].push_back(y);
        vc[y].push_back(x);
    }
    //查找两棵树的起点,数量
    int st1 = -1,st2 = -1;
    int cnt1 = 0,cnt2 = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(vis[i] == false)
    {
        countNum = 0;
        dfs0(i);
        if(st1 == -1){
            st1 = i;cnt1 = countNum;
        }
        else{
            st2 = i;cnt2 = countNum;
        }
    }

    //查找两棵树的重心
    int g1,g2;
    miTreesize = inf;dfs1(st1,-1,cnt1);g1 = g;
    miTreesize = inf;dfs1(st2,-1,cnt2);g2 = g;

    //连接两棵树的重心
    vc[g1].push_back(g2);
    vc[g2].push_back(g1);

    //求出最小功能值
    ans = 0;
    dfs2(1,-1);
    cout<<ans<<endl;

    return 0;
}

https://blog.csdn.net/qq_41829060/article/details/115497585