A.空间
题目描述
小蓝准备用 256MB 的内存空间开一个数组，数组的每个元素都是 32 位
二进制整数，如果不考虑程序占用的空间和维护内存需要的辅助空间，请问
256MB 的空间可以存储多少个 32 位二进制整数？

问题分析
b ( bit 比特（二进位制信息单位）)
B (byte 字节)
1 B = 8 b , 32 b = 4 B
1 MB = 1024 KB = 1024 * 1024 B

C++ 代码
#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    cout << 256 * 1024 * 1024 / 4 << endl;
    return 0;
}
答案：67108864
B.卡片
题目描述
小蓝有很多数字卡片，每张卡片上都是数字 0 到 9。
小蓝准备用这些卡片来拼一些数，他想从 1 开始拼出正整数，每拼一个，
就保存起来，卡片就不能用来拼其它数了。
小蓝想知道自己能从 1 拼到多少。
例如，当小蓝有 30 张卡片，其中 0 到 9 各 3 张，则小蓝可以拼出 1 到 10，
但是拼 11 时卡片 1 已经只有一张了，不够拼出 11。
现在小蓝手里有 0 到 9 的卡片各 2021 张，共 20210 张，请问小蓝可以从 1
拼到多少？

问题分析
模拟

C++ 代码
#include <iostream>

using namespace std;

int s[10];

bool check(int x)
{
    while (x)
    {
        int t = x % 10;
        x /= 10;
        if ( -- s[t] < 0) return false; 
    }
    return true;
}

int main()
{
    for (int i = 0; i < 10; i ++ ) s[i] = 2021;

    for (int i = 1; ; i ++ )
        if (!check(i))
        {
            cout << i - 1 << endl;
            return 0;
        }
    return 0;
}
答案：3181
C.直线
题目描述
在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，
那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上 2 × 3 个整点 {(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z}，即横坐标
是 0 到 1 (包含 0 和 1) 之间的整数、纵坐标是 0 到 2 (包含 0 和 2) 之间的整数
的点。这些点一共确定了 11 条不同的直线。
给定平面上 20 × 21 个整点 {(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z}，即横
坐标是 0 到 19 (包含 0 和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之
间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

问题分析
这道题用到了结构体内嵌构造函数

模板
struct root{
    int x,y;
    bool operator<(const root &a)const{
        return a.y>a.x;
    }
}r[N];
//两个变量的比较
struct root{
    int x,y;
    bool operator<(const root &a)const{
        return a.y*x>a.x*y;
    }
}r[N];
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 200000; // 大概四百个点，每两个点构成一条直线，大概160000条 

int n;
struct Line
{
    double k, b; // 每条直线可以用一对斜率和截距表示 
    bool operator< (const Line& t) const
    {
        if (k != t.k) return k < t.k;
        return b < t.b;
    }
} l[N];

int main()
{
    for (int x1 = 0; x1 < 20; x1 ++ )
        for (int y1 = 0; y1 < 21; y1 ++ )
            for (int x2 = 0; x2 < 20; x2 ++ )
                for (int y2 = 0; y2 < 21; y2 ++ )
                    if (x1 != x2) // 先不考虑斜率不存在的直线 
                    {
                        double k = (double)(y2 - y1) / (x2 - x1);
                        double b = y1 - k * x1;
                        l[n ++ ] = {k, b}; 
                    }

    sort(l, l + n);
    int res = 1; // 这里比较的时候是从第二条直线开始比较的，每次都和前面的直线比较，所以res = 1 
    for (int i = 1; i < n; i ++ ) // 从第二条直线开始
        if (fabs(l[i].k - l[i - 1].k) > 1e-8 || fabs(l[i].b - l[i - 1].b) > 1e-8)
            res ++ ;
    cout << res + 20 << endl; // 最后加上斜率不存在的20条直线 

    return 0; 
}
答案：40257
D.货物摆放
题目描述
小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。
现在，小蓝有 n 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝
规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、
宽、高。
小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。即在长、宽、高的方向上
分别堆 L、W、H 的货物，满足 n = L × W × H。
给定 n，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。
例如，当 n = 4 时，有以下 6 种方案：1×1×4、1×2×2、1×4×1、2×1×2、
2 × 2 × 1、4 × 1 × 1。
请问，当 n = 2021041820210418 （注意有 16 位数字）时，总共有多少种
方案？

问题分析
n = a * b * c
a,b,c都是n的约数
先算n的约数，三层循环找答案

C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
    LL n;
    cin >> n;
    vector<LL> d; // 存n的约数
    for (LL i = 1; i * i <= n; i ++ )
        if (n % i == 0)
        {
            d.push_back(i);
            if (n / i != i) d.push_back(n / i);
        }

    int res = 0;
    for (auto a : d)
        for (auto b : d)
            for (auto c : d)
                 if (a * b * c == n)
                    res ++ ;
    cout << res << endl;
    return 0;
}
答案：2430
E.路径
题目描述
小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图
中的最短路径。
小蓝的图由 2021 个结点组成，依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b，如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21，则两个结点
之间没有边相连；如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21，则两个点之间有一条
长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边相连。
例如：结点 1 和结点 23 之间没有边相连；结点 3 和结点 24 之间有一条无
向边，长度为 24；结点 15 和结点 25 之间有一条无向边，长度为 75。
请计算，结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。

问题分析
裸的最短路问题(这里用的是spfa)

C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2200, M = N * 50;

int n;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], dist[N];
bool st[N];

int gcd(int a, int b)  // 欧几里得算法
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void add(int a, int b, int c)  // 添加一条边a->b，边权为c
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void spfa()  // 求1号点到n号点的最短路距离
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    q[tt ++ ] = 1;
    st[1] = true;

    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    n = 2021;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = max(1, i - 21); j <= min(n, i + 21); j ++)
        {
            int d = gcd(i, j);
            add(i, j, i * j / d);
        }

    spfa();
    printf("%d\n", dist[n]);
    return 0;
}
答案：10266837