如果我是作者，我会这样编写这道题的题解，力求清晰、直观且深入：

题解：冰火战士能量平衡问题

问题重述

在温度调节场景中，冰系战士和火系战士的能量消耗随温度变化：
• 冰系战士：温度 ≤ 其适应温度时才能出战，能量总和随温度升高递增（前缀和）。
• 火系战士：温度 ≥ 其适应温度时才能出战，能量总和随温度升高递减（后缀和）。
目标：选择一个温度，使得双方出战战士的总能量最小值最大化，并输出此时的总能量×2。

关键性质

1. 单调性：
   • 冰系能量和 $f(k)$ 是温度 $k$ 的非递减函数（前缀和）。
   • 火系能量和 $g(k)$ 是温度 $k$ 的非递增函数（后缀和）。
   • 答案 $\min(f(k), g(k))$ 是一个单峰函数。

2. 极值点：
   • 最优解出现在 $f(k)$ 和 $g(k)$ 的交点附近，或单调性变化的边界。

算法设计

步骤1：离散化处理

• 将所有战士的适应温度离散化为唯一排名，降低值域规模。

步骤2：树状数组维护动态和

• 冰系：用树状数组 tr0 维护前缀和（温度升高时新增战士）。
• 火系：用树状数组 tr1 维护后缀和（温度升高时减少战士），通过补集转换：
• 总和 sum1 减去前缀和得到后缀和。

步骤3：寻找最优温度

1. 二分法（60分做法）：
   • 在离散化后的温度上二分，找到最大的 $k$ 满足 $f(k) \leq g(k)$。
   • 检查 $k$ 和 $k+1$ 的 $\min(f, g)$，取较大者。

2. 树状数组上倍增（100分优化）：
   • 核心思想：利用树状数组的二进制跳跃特性，直接在数据结构上倍增。
   • 操作：
   ◦ 初始化指针 p = 0，步长从 $2^{20}$ 到 $2^0$ 尝试扩展。
   ◦ 每次检查 p + (1 << i) 的位置，动态累加前缀和 $s_0$ 和后缀和 $s_1$。
   ◦ 根据 $s_0$ 和 $s_1$ 的大小关系调整 p，最终停在 $f(k) \leq g(k)$ 的最大 $k$。
   • 优势：将二分法的 $O(\log n)$ 次查询优化为单次扫描，均摊 $O(\log n)$ 时间。

步骤4：处理边界情况

• 无解：当所有温度下 $\min(f, g) = 0$ 时输出 Peace。
• 多个极值点：检查 $k$ 和后续连续相等能量的最大温度 $k’$。

代码实现关键

// 树状数组上倍增找交点
int p1 = 0;
long long s0 = 0, s1 = sum1; // 初始化火系总和
for (int i = 20; i >= 0; i--) {
    int np = p1 + (1 << i);
    if (np > cnt) continue;
    long long ns0 = s0 + tr0.get(np), ns1 = s1 - tr1.get(np);
    if (ns0 <= ns1) { // 冰系能量仍≤火系，继续右移
        p1 = np;
        s0 = ns0, s1 = ns1;
    }
}
long long f1 = s0; // 交点处的能量

// 检查下一个温度是否更优
long long f2 = 0;
if (p1 < cnt) {
    f2 = min(tr0.query(p1 + 1), sum1 - tr1.query(p1 + 1));
    // 可能需要找到最大的k'满足能量相同
}

复杂度分析

• 时间：$O(n \log n)$，每个操作（插入、查询）在树状数组上耗时 $O(\log n)$。
• 空间：$O(n)$，存储离散化后的温度和树状数组。

思考过程

1. 暴力思路：直接枚举每个温度计算 $\min(f, g)$，但 $O(n^2)$ 超时。
2. 单调性观察：发现 $f(k)$ 和 $g(k)$ 的单调性，转化为找交点。
3. 数据结构选择：树状数组高效维护动态前缀/后缀和。
4. 优化二分：在树状数组上倍增，避免重复计算。

为什么这样设计？

• 树状数组的倍增特性：其结构天然支持从低位到高位的跳跃，适合快速定位。
• 离散化必要性：原始温度范围大（$1 \leq x \leq 10^9$），离散化后值域压缩到 $2 \times 10^6$。
• 避免三分法：因离散化和平台区域存在，三分法可能错过极值。

典型样例分析

输入：

3
1 0 5 3  // 冰系战士，温度5，能量3
1 1 2 4  // 火系战士，温度2，能量4
1 1 4 2  // 火系战士，温度4，能量2

处理：
1. 离散化温度：[2, 4, 5] → 排名 1, 2, 3。
2. 计算：
• $f(1)=0$, $g(1)=6$ → $\min=0$
• $f(2)=0$, $g(2)=4$ → $\min=0$
• $f(3)=3$, $g(3)=2$ → $\min=2$
• 最优温度 5，能量 2*2=4。

总结

本题的核心技巧：
1. 单调性转化：将最优化问题转化为函数交点问题。
2. 数据结构优化：树状数组的动态维护与高效查询。
3. 离散化与倍增：降低问题规模，利用二进制跳跃加速。

通过将问题抽象为数学模型，并合理选择数据结构，能够高效解决此类动态统计问题。