题解：矩阵线段树维护多元组操作

问题重述

我们需要维护一个长度为n的序列，每个元素是一个三元组(A,B,C)。支持以下6种操作：
1. 区间A += B
2. 区间B += C
3. 区间C += A
4. 区间A += v
5. 区间B *= v
6. 区间C = v
以及区间查询三个值的和。

算法核心：矩阵线段树

为什么用矩阵？
• 每个操作可以表示为线性变换，用4×4矩阵表示（三元组+常数1）
• 例如A += B对应矩阵：
[1 1 0 0] [0 1 0 0] [0 0 1 0] [0 0 0 1]

线段树设计：
1. 节点存储：
• sum[4]：区间和矩阵
• lazy[4][4]：待下传的变换矩阵

1. 关键操作：
   • pushup：合并子区间和
   • pushdown：应用lazy矩阵
   • update：区间应用变换矩阵

代码实现解析

struct matrix {
    int num[4][4]; // 4×4变换矩阵
    matrix operator*(const matrix &b) {
        matrix res;
        // 循环展开优化矩阵乘法
        for(int i=0;i<4;i++) {
            res.num[i][0] = ((ll)num[i][0]*b.num[0][0] + ...) % mod;
            // 其他列类似...
        }
        return res;
    }
};

操作矩阵预定义：

// A[0]对应A+=B，A[1]对应B+=C，A[2]对应C+=A
// B[0]对应A+=v，B[1]对应B*=v，B[2]对应C=v
void init_matrices() {
    A[0].num[1][0] = 1; // A += B
    B[0].num[3][0] = 1; // A += v的位置
}

查询处理：

matrix query(int l,int r,int rt) {
    if(覆盖区间) return sum[rt];
    pushdown(rt);
    return query(l,mid,ls) + query(mid+1,r,rs); // 矩阵加法合并
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m log n * 4³)，矩阵乘法常数64
• 空间复杂度：O(n * 4²)

卡常技巧

1. 内联函数：减少函数调用开销
2. 循环展开：手动展开4×4矩阵乘法
3. 取模优化：用减法代替取模
4. 类型优化：只在乘法时转long long

思考过程

1. 识别操作本质：发现所有操作都是线性变换
2. 维度扩展：增加常数1维处理加常数操作
3. 数据结构选择：
   • 区间修改→线段树
   • 变换可结合→矩阵乘法
4. 实现优化：
   • 预定义变换矩阵
   • 优化矩阵运算

样例演示

输入：

3
1 2 3
2 3 4
3 4 5
2
1 1 3
7 1 3

处理：
1. 初始：(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)
2. 操作1后：(3,2,3)(5,3,4)(7,4,5)
3. 查询输出：3+5+7=15, 2+3+4=9, 3+4+5=12

总结

本题展示了如何将多元组操作转化为矩阵变换问题，通过：
1. 抽象操作→矩阵表示
2. 线段树维护变换
3. 预计算+运算优化

这种矩阵+数据结构的思路适用于许多区间变换问题，关键在于发现操作的线性性质。